Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью
3
2
1
1 0,
2
x
y
z
u t x u t y g u t
f
t
(6)
где для краткости принять
2
2
2
2
.
x
y
z
Будем рассматривать задачу (1), (2), (6). Очевидно, что изменяя
,
,
x
y
z
u t u t u t
, получаем различные решения задачи. По теореме
о непрерывной зависимости системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений от начальных условий и правой части решение
непрерывно зависит от
u t
.
Введем функционал, характеризующий интенсивность колебаний
[8, 9]:
2 2
2
2
1
.
,
,
nk
nk
n k
J u t
P t u t
q t u t
(7)
Необходимо подобрать
u t
таким образом, чтобы функционал
(6)
был минимальным в момент времени
,
T
т. е.
min.
J T J u T
Утверждение 1.
Управления не входят в кинематическое условие
(2)
(оно остается неизменным), а входят линейно в уравнения для
определения коэффициентов потенциала поля скоростей.
Доказательство
. Первая часть утверждения очевидна. Докажем
вторую часть утверждения.
Подставим в условие (6) выражения для потенциала поля скоростей
и формы свободной поверхности и выполним стандартные действия для
получения уравнения для
( ):
nk
P t
умножим на
cos cos
nx ky
и проин-
тегрируем по квадрату
0,1 0,1 .
Обозначим множество интегрирования как
def 2
0,1 0,1
I
и
вычислим интеграл, в который входит управление:
2
2
2
2
cos cos
1
cos cos
cos cos
1 cos cos
.
x
y
z
x
I
y
I
z
I
I
nx ky dxdy
u t x u t y g u t
f
u t x nx kydxdy
u t y nx ky dxdy
g u t
f
nx ky dxdy
