Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью
5
Второй интеграл вычисляется аналогично. Окончательно имеем
2
0
2 2
0
2 2
cos cos
1
2
0, ,
0,
0 mod 2 ;
2
,0 , 0 mod 2 ,
0;
, ,
0 или
0,
0 mod 2 или
0,
0 mod 2 .
x
y
z
y
z
k
x
z
I
n
z
nk
nx ky dxdy
u t x u t y g u t
f
u t
g u t q t C k n k
k
u t
g u t q t C n n
k
n
g u t q t C n k
nk
n k
k n
(8)
Утверждение 2.
Симметричные колебания невозможно погасить,
применяя лишь воздействия по осям
x
и
y
.
Доказательство.
Управления
x
u t
и
y
u t
входят лишь в урав-
нения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей с
нечетными индексами, а в уравнения с четными индексами входит
только управление
z
u t
(см. формулу (8)). Из формул (4) и (5) сле-
дует, что коэффициенты с нечетными индексами представляют собой
амплитуды асимметричных возмущений свободной поверхности и
потенциала скоростей, т. е. утверждение очевидно.
Утверждение 3.
Ассиметричные колебания можно погасить, ис-
пользуя все компоненты вектора управлений.
Получим систему дифференциальных уравнений, ограничившись
лишь несколькими членами ряда:
2
2
01
01
10 11
11 10
2
2
01 02
02 01
2
2
10
10
10 20
20 10
2
2
01 11
11 01
2
2
11
11
11 20
20 11
2
2
11 02
02 11
sh
ch 2
ch
2
2
ch2
ch ;
sh
ch2
ch
ch 2
ch ;
2
2
2sh 2
ch2
ch 2
ch2
ch 2 ;
q
P q P
q P
q P
q P
q
P q P
q P
q P
q P
q
P q P
q P
q P
q P
2
02
02
01 01
2 sh2
ch ;
2
q
P q P
(9)
