А.А. Гурченков, А.М. Романенков
2
На свободной поверхности выполняются два нелинейных усло-
вия: чисто кинематическое
,
f
f
f
t
x x y y z
(2)
отражающее тот факт, что частица жидкости, попав на свободную
поверхность, навсегда остается на ней, и динамическое
2
2
2
1
1 0,
2
g f
t
x
y
z
(3)
являющиеся следствием уравнения движения Эйлера.
Применив метод Фурье, можно представить потенциал поля ско-
ростей двойным рядом Фурье:
2 2
0 0
, , ,
ch
cos cos .
nk
n k
x y z t
P t
n k z
nx
ky
(4)
Функцию, выражающую форму свободной поверхности, также
разложим в ряд Фурье по косинусам:
0 0
, ,
1
cos cos .
nk
n k
f x y t
q t
nx
ky
(5)
Будем воздействовать на сосуд с колеблющейся жидкостью, огра-
ниченной переменной силой, которую назовем управлением [5–7]:
,
,
,
x
y
z
u t
u t u t u t
где
,
,
x
y
z
u t u t u t
— компоненты силы по соответствующим
осям координат, причем
min
max
,
,
.
x
y
z
u u t u t u t
u
Введенное воздействие приведет к изменению уравнения (3):
2
Ф 0,
2
t
где
Ф Φ
0, 0,
,
t
g u t s t
— потенциальная энергия;
, ,
, ,
1 ;
s t
x y f x y t
,
— стандартное скалярное произве-
дение в
3
[4].
Окончательно получим динамическое условие с учетом воздей-
ствия:
