Стр. 8 - С.О. Юрченко - Влияние слабого электрического поля на нелинейные возмущения поверхности раздела конденсированных сред

251
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
[ ]
( ) [ ]
2
2
0
dn , 1 8 sin , 1;
2
dn , .
z
z s q q
K
z a z s
π ⎡ ⎤
≈ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
ψ = (13)
Решение представляется в следующем виде:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 0 0 1 0 , z G z dz A dz − ′ ′ ′ ψ = ψ ψ + ψ ∫ ∫ (14)
где константа A определяется из условия ψ′|z = K = 0:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2
0 1
2 2
1 0 0 1 0 2 0 0
lim ,
1
, .
z K
w w
A w
w z G z dz dz w z dz
→
− −
′′ψ +
= − ′′ψ +
′ ′ ′ ′ ′ = ψ ψ ψ = ψ ψ ∫ ∫ ∫
Вычисления с учетом (13) приводят к следующим результатам:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2
2
1
2
1 8 16 cos 2 1 4 3 cos ,
1 .
B
B q q q q
K K
z O
πτ πτ
τ αω α
ψ = ψ =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − − − − − −
⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
= + + (15)
Найденные константы равны:
( )
( )
2 3 4
1
1 16 96 256 352
, ,
8 3
1 4 .
24
q q q q K A
K
Ka q
B
q
π
ω
π
π
− + − +
= =
−
=
Функция ψ1(τ) для кноидальных волн с различными модулями s
представлена на рис. 2.
В пределе слабонелинейных волн s → 0 амплитудный коэффици-
ент решения (15) стремится к бесконечности. Последнее означает, что
даже слабое электрическое поле оказывает существенное влияние на
синусоидальные волны, что полностью согласуется с выводами [9].
Пространственный эффект влияния слабого электрического поля
состоит в «расплывании» возмущений по горизонтали и связан с тем,
что ω 1 > 0. Длина кноидальной волны в слабом электрическом поле
( ) ( )
2
2 1 .
8
K s
sK s
aV V
α β
λ
π β
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠