Стр. 5 - С.О. Юрченко - Влияние слабого электрического поля на нелинейные возмущения поверхности раздела конденсированных сред

248 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
т. е. намного медленнее, чем в случае солитонного решения уравне-
ния Кортевега – де Фриза [11], для которого справедлива асимптотика
u ∼ exp(– z).
Последнее означает, что уединенная нелинейная волна с квадра-
тичным спектром менее локализована в пространстве, чем в случае
кубической дисперсии. Зависимость скорости солитонов, однако, ли-
нейна по амплитуде, что связано с квадратичным порядком нелиней-
ности эволюционного уравнения.
Существование солитона при отсутствии верхней жидкости обу-
словлено взаимодействием электрических и капиллярных эффек-
тов. Солитонные решения, соответствующие полному кубическому
спектру, являются электрокапиллярными, поэтому солитон вида (4)
можно считать вырожденным электрокапиллярным. Значение пара-
метра электрического поля α определяется, исходя из необходимого
условия вырождения кубического спектра β = 0, а потому зависит от
параметров, характеризующих систему:
2
0 .
3
h
c g
γ
α
ρ
= −
Асимптотическое разложение Пуанкаре для периодических
волн. Вернемся к нелинейному эволюционному уравнению (2). Об-
ратимся к бегущей переменной z = x – (c 0 + V )t , однократное интегри-
рование приводит к уравнению стационарных волн
[ ]
2 3 H 0.
4
u u Vu A u β α ′′ ′ + − + + = (5)
В результате перехода к безразмерным переменным , z z Vβ →
2 , , u Vu V α β α → → уравнение (5) приобретает вид
[ ]
2 3 H 0.
2 u u u A uα ′′ ′ + − + + = (6)
При A ≠ 0, α = 0 решения уравнения (6) – кноидальные волны, вы-
ражающиеся в эллиптических функциях Якоби. Вопрос о решениях
уравнения (6) при произвольных α в настоящее время остается откры-
тым, хотя уравнение типа Кортевега – де Фриза – Бенджамина – Оно
уже было получено в работах [6, 9].
При малых α обнаруживается интересная внутренняя структура
исходного уравнения (5). Так, в случае слабого электрического поля
α << 1 и решение (6) ищут в виде асимпмтотического ряда: