Стр. 3 - С.О. Юрченко - Влияние слабого электрического поля на нелинейные возмущения поверхности раздела конденсированных сред

246 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
g – ускорение свободного падения; ψ, φ – потенциалы скорости и элек-
трического поля; p0 – статическое давление на поверхности жидкости
в отсутствие волнового возмущения; γ – коэффициент поверхностно-
го натяжения; ∇1, Δ 1 – двумерные операторы Гамильтона и Лапласа,
действующие в плоскости xy; t , z – индексы, обозначающие частное
дифференцирование по соответствующим переменным. Для приведе-
ния к безразмерному виду выбраны следующие единицы измерения:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 , , ,
, , ,
t c c Eh
a z h x y
λ λ ϕ
ξ λ
= ψ = =
= = = =
где a – амплитуда возмущения ξ; λ – характерный горизонтальный
размер возмущения; 0 c gh= – скорость длинных гравитационных
волн малой амплитуды.
Вывод квадратично-нелинейных по амплитуде уравнений, описы-
вающих распространение поверхностных волн в исследуемой системе
проводится при помощи разложения величин φ, ψ в ряд по степеням
параметра ε [9]. В приближении Буссинеска учитываются влияние
квадратичной нелинейности и кубической дисперсии. Тогда электри-
ческое поле влияет на дисперсионные компоненты, но не на слагаемые,
не линейные по амплитуде. Эволюционное уравнение для волны, рас-
пространяющейся в положительном направлении [9], имеет вид
[ ]
( ) ( ) ( )
0
2 2 4
2 0 0
2 2
3 0;
2
2 3 12
, ;
6
, , exp .
t x xxx x u u c u u L u
c c h
g g g
L u x t k u x t ik x x dx dk
α
β
π
πσ γ π σ
α β
ρ ρ ρ
∞ ∞
−∞ −∞
⎛ ⎞
+ + + − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
′ ′ ′ = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ (1)
Таким образом, видно, что возмущения в исследуемой системе
описываются нелокальными уравнениями. Причиной нелокальности
служит электрическое поле: движение жидкости в каждой точке по-
верхности определяется результирующим полем, в которое вносят
вклад точки всей заряженной поверхности.
Вырождение эволюционного уравнения. Нелинейное эволюци-
онное уравнение (1) может быть преобразовано к более удобному для
анализа виду. Для этого стоит отметить связь между линейным опера-
тором L[u] и оператором Гильберта H[u], представленную в работе [10]:
[ ] [ ] ( ), 1
2 H , H , u x t dx u
L u u VP
x x x
∞
−∞
′ ′ ∂⎡ ⎤
= − =
⎢ ⎥ ′ ∂ − ⎣ ⎦ ∫ π
π