249
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
( )
( )
( )
0
1
.
n
n
n
u z
z
z
α
∞
=
= ψ + ψ
∑
(7)
Подстановка решения вида (7) в уравнение (6) приводит к беско-
нечной системе неоднородных уравнений Шрёдингера:
(
)
( )
( )
[ ]
( )
[
]
2
0
0
0
0
1
1
0
1
1
3
0;
2
3 1
,
1;
H ,
H
,
2.
n
n
n
n
n
n
k n k
k
A
G z n
G z
G z
n
−
−
−
=
′′ψ + ψ −ψ + =
′′ψ + ψ − ψ = −
≥
′
′
= ψ
= ψ + ψ ψ ≥
∑
(8)
Каждое уравнение Шрёдингера можно проинтегрировать, откуда
для искомых функций
ψ
n
(
z
) находим
( )
( )
(
)
( )
2
0
0
0
.
n
n
z
G z dz
dz
−
′
′
′
ψ = ψ ψ
ψ
∫ ∫
(9)
Периоды функций ψ
0
′
и
G
n
(
z
) являются кратными, откуда при по-
вторном интегрировании возникают секулярные слагаемые. Все ре-
шения (9) становятся неустойчивыми при
z
→ ∞.
Солитонное решение получается, как видно, путем подстановки
в (8) и (9) невозмущенного профиля ψ
0
∼
sech2(
z
/2). При этом реше-
ние (9) сходится: ψ
0
′
при больших
z
ведет себя как exp[–
z
], а интеграл
расходится
∼
z
. Таким образом, при
z
→ ∞ возмущение солитонного
решения ведет себя
∼
z
exp[–
z
], а множители слагаемых
∼
α
n
в случае
солитонного решения – сходятся как
z
n
exp[–
z
]. В случае периодиче-
ского решения ψ
0
при
z
→ ∞ интегралы становятся осциллирующими,
а по модулю расходятся
∼
z
.
Вблизи нуля ряд (7) с членами (9) представляет собой асимпто-
тическое разложение Пуанкаре и может использоваться для оценок
возмущений, вызываемых полем в точках вблизи вершин профиля не-
линейной волны.
Кноидальные волны в слабом электрическом поле.
Разложе-
ние (7) неприменимо для анализа профиля нелинейных волн в элек-
трических полях из-за расходимости интегралов (9). Как известно,
устранить секулярные слагаемые можно интегрированием уравнений
стационарных волн при помощи метода Линдштедта – Пуанкаре, раз-
лагая в ряд по
α
возмущение и вводя поправку на горизонтальный
масштаб возмущения:
( )
( )
( )
0
0
1
,
.
n
n
n
n
n
n
z z
u z
z
z
α ω
α
∞
∞
=
=
′=
= ψ + ψ
∑
∑
(10)
1,2,3,4,5 7,8,9,10,11,12,13