Стр. 7 - С.О. Юрченко - Влияние слабого электрического поля на нелинейные возмущения поверхности раздела конденсированных сред

250 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
Подстановка решения (10) в (6) приводит к уравнениям
( )
2 0
0 0 0
0
3 0, ,
2 n n n A G z ′′′ψ
′′ ′′ ψ + ψ −ψ + = ψ − ψ = −′ψ (11)
где возмущающие функции в правой части теперь определяются
сложнее, чем (8). Например, первая и вторая поправка имеют вид
( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
0
1 0 1
0
2 2 0
2 1 2 0 1 1 1 1 0 1
0
H 2 ,
3
2 2 H .
2
G z
G z
ω
ω ω ω ω
′′′ψ ′
= ψ −
′ψ
′′′ψ ′′′ ′ ′ = − + ψ − ψ + ψ + ψ + ψ
′ψ
Коэффициенты разложения ωn подбираются таким образом, чтобы
скомпенсировать секулярные слагаемые. Решение по-прежнему опре-
деляется формулами (9) с новыми выражениями для Gn.
Невозмущенное уравнение Кортевега – де Фриза можно предста-
вить [12] как
2 1 2 1 2
0 3 2
1 3
2 2 dn, , , ,
2 2
a a b b b b
u z s b a s
s s b b
⎛ ⎞ − −
= + = = ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
где b1, b2, b3 – действительные корни кубического уравнения
u0
3 – u0
2 + Au0 + B = 0
в порядке убывания, s – модуль эллиптической функции Якоби dn(z, s),
a – амплитуда нелинейной волны. Для расчетов оказывается удобным
использовать известное тригонометрическое разложение эллиптиче-
ской функции Якоби [13]:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1
2
2
dn , cos ,
2 1
exp , 1 ,
n
n
n
q nz
z s K s K s q K s
q K s K s s s
π π π
π
∞
=
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠
′ ′ = − = −
∑
(12)
где K(s) – полный эллиптический интеграл первого рода; s′ – сопря-
женный модуль. Модуль s, как известно, может служить мерой не-
линейности волны: предел s << 1 соответствует тригонометрическим
функциям, а s → 1 – гиперболическим функциям. Использование раз-
ложения (12) позволяет находить преобразование Гильберта H[u0′]
с любой наперед заданной точностью в виде тригонометрического
ряда [12].
Для кноидальной волны справедливо приближенное разложение