247
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
где интеграл понимается в смысле главного значения. Тогда урав-
нение эволюции примет вид уравнения Кортевега – де Фриза –
Бенджамина – Оно:
[ ]
0
3
H 0.
2
t
x
xxx
xx
u c u u u
u
β
α
⎛
⎞
+ +
+ +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(2)
В приближении квадратичной дисперсии
β
= 0 уравнение (2) вы-
рождается в уравнение Бенджамина – Оно [11]:
[ ]
0
3
H 0.
2
t
x
xx
u c u u
u
α
⎛
⎞
+ +
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(3)
Уравнение (3) впервые было выведено в приложении к эволюции
волн на границе раздела двух глубоких жидкостей. Таким образом,
прослеживается аналогия между влиянием поверхностного заряда
и верхнего слоя жидкости в аналогичной системе (две несмешиваю-
щиеся жидкости в поле сил тяжести). Физически такая аналогия свя-
зана, прежде всего, со спектрами линейных волн. В случае заряжен-
ной поверхности одной жидкости и двух несмешивающихся тяжелых
жидкостей конечной толщины в дисперсионной зависимости
ω
(
k
)
появляется квадратичное слагаемое по волновому числу
k
. В силу
пространственной изотропии задачи, квадратичное слагаемое прихо-
дится писать в виде
k
|
k
|, откуда при обратном преобразовании Фурье
появляется оператор Гильберта.
Уравнение Бенджамина – Оно (3) имеет точное решение в виде
стационарной уединенной волны [11]. После перехода к бегущей
переменной
z
=
x
–
c
0
t
+
Vt
и однократного интегрирования уравне-
ние (3) принимает вид
[ ]
2
3
H
0.
4
z
u u Vu A
α
+ + + =
При условии
A
= 0 (для уединенной волны) и с учетом особенно-
стей преобразования Гильберта находим решение в виде «рациональ-
ного» солитона:
2 2
4
2
,
,
4
3
a
a
u
V
a z
α
α
=
=
+
(4)
где
a
– амплитуда нелинейной волны.
Как и ожидалось, скорость движения солитона увеличивается с ро-
стом амплитуды. На больших расстояниях возмущение убывает как
u
∼
1/
z
2
,
1,2,3 5,6,7,8,9,10,11,12,13