4 / 11
Н.В. Островский
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017
Это свойство нашло свое выражение во втором законе Кеплера,
согласно которому радиус-вектор планеты описывает площади,
прямо пропорциональные промежуткам времени [4].
Длина радиус-вектора точки на эллиптической кривой относи-
тельно фокуса эллипса в зависимости от величины угла (обозначим
его
θ
), отсчитываемого от перицентра эллипса, может быть вычис-
лена по уравнению [5]:
2
1 cos
b a
r
e
=
+ θ
,
(5)
где
е
— эксцентриситет эллипса.
Зная скорость тела в любой точке, можно найти время движения
тела по дуге
ВС
, вычислив интеграл:
2
( )
C
B
BC
r d
t
K
θ
θ
θ θ
=
.
(6)
Однако данный интеграл имеет решение, только если
2
1
e
>
, в то
время как для эллипса
2
1
e
<
. Тогда
BC
t
можно найти с помощью
численного интегрирования на электронно-вычислительной машине
(ЭВМ). В представленных ниже результатах расчетов интегрирова-
ние было выполнено с шагом 0,0001 от величины угла
BAC
.
Более полное описание движения тела по эллиптической орбите
позволяет сформировать модель орбитального движения небесных
тел, в которой эллиптическое движение рассматривается как супер-
позиция радиального и кругового движений (см., например, [6]).
На небесное тело, движущееся по эллиптической орбите, дей-
ствует радиальное ускорение
R
a
, величина которого равна векторной
сумме ускорения силы тяжести
G
a
и центробежного ускорения
С
a
:
R G C
a a a
= −
.
(7)
Под действием радиального ускорения за интервал времени
t
Δ
тело приобретает радиальную скорость:
( )
(0)
( )
R
R
R
v t
v
a t t
= + Δ
,
(8)
а движение этого тела вдоль радиус-вектора ведет к изменению его
длины
( ) (0)
( )
R
r t
r
v t t
= − Δ
.
(9)
Величина радиальной скорости имеет положительное значение
при движении тела к центру тяготения и отрицательное — при дви-
жении от центра.