5 / 10
Дискретные ориентации космического аппарата
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2017 5
использована параметризация трехмерной гиперсферы, отличная от
параметризации (6), а вопрос о равномерном распределении точек на
гиперсфере рассмотрен не был.
Правильные четырехмерные многогранники и равномерное
заполнение ориентационного пространства.
Ранее был рассмотрен
вопрос моделирования случайных равновероятных вращений с помо-
щью модели непрерывного равномерного распределения точек на
трехмерной гиперсфере. Заменив непрерывное распределение точек на
трехмерной гиперсфере в четырехмерном евклидовом пространстве
дискретным распределением конечного числа точек, можно получить
набор дискретных значений параметров Родрига — Гамильтона, зада-
ющий дискретную систему ориентаций космического аппарата, кото-
рая «равномерно» заполняет все ориентационное пространство.
Существование пяти центросимметричных правильных четырех-
мерных многогранников, вписанных в трехмерную гиперсферу еди-
ничного радиуса, служит доказательством существования равномерно-
го распределения конечного числа точек на трехмерной гиперсфере
в четырехмерном евклидовом пространстве. Такими многогранниками
являются (в скобках указано число вершин): восьмиячейник (16),
шестнадцатиячейник (8), двадцатичетырехячкйник (24), стодвадцатия-
чейник (600), шестисотячейник (120).
При этом необходимо принимать во внимание факт двулистного
накрытия трехмерной гиперсферой группы
(3),
SO
связанный с тождест-
венностью кватернионов
0 1 2 3
( , , , )
и
0
1
2
3
( ,
,
,
)
[13,
14], а также свойства симметрии четырехмерных многогранников.
Таким образом, для моделирования дискретных наборов ориен-
таций космического аппарата, равномерно заполняющих ориентаци-
онное пространство, могут быть использованы вершины пяти пра-
вильных четырехмерных многогранников (восьмиячейника, шестнад-
цатиячейника, двадцатичетырехячейника, стодвадцатиячейника,
шестисотячейника) в совокупности с процедурой отбрасывания
половины вершин по условию тождественности кватернионов
0 1 2 3
( , , , )
и
0
1
2
3
( ,
,
,
).
Моделирование и визуализация вращений космического ап-
парата.
В качестве примера дискретного заполнения ориентационно-
го пространства выбраны ориентации, соответствующие вершинам
двадцатичетырехячейника с координатами
1, 0, 0,
, 0
0, 1, 0,
, 0
0, 0, 1,
, 0
0, 0, 0, 1 ,
0,5, 0, 5, 0, 5, 0, 5 .
После отбрасы-
вания зеркально симметричных вершин находятся соответствующие
единичные кватернионы с координатами: 1 —
1, 0, 0, 0 ;
2 —
0, 1, 0, 0 ;
3 —
0, 0, 1, 0 ;
4 —
0, 0, 0, 1 ;
5 —
0, 5, 0, 5, 0, 5, 0,5 ;