4 / 10
С.А. Берестова, Н.П. Копытов, Е.А. Митюшов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2017
2
3
sin sin
;
cos sin
,
2 2
2 2
(4)
где 0
2 ;
0
;
0
2 .
Используя геометрическую интерпретацию кватерниона как век-
тора четырехмерного пространства, можно каждому значению ква-
терниона поставить в соответствие точку с координатами
1 0
,
x
2 1
,
x
3 2
,
x
4 3
x
в четырехмерном евклидовом пространстве
с системой координат
1 2 3 4
.
Ox x x x
С учетом соотношения (3) для ко-
ординат каждой такой точки будет выполняться условие
2 2 2 2
1 2 3 4
1.
x x x x
(5)
Соотношение (5) тождественно уравнению трехмерной единичной
гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Таким обра-
зом, множество возможных значений параметров Родрига — Гамиль-
тона можно рассматривать как множество координат точек трехмер-
ной единичной гиперсферы в четырехмерном евклидовом простран-
стве. При этом уравнения (4) связи между параметрами Родрига —
Гамильтона и углами Эйлера используются в качестве параметриче-
ских уравнений для задания данной единичной гиперсферы:
1
2
3
4
cos cos
;
sin cos
;
2
2
2
2
sin sin
;
cos sin
,
2 2
2 2
x
x
x
x
(6)
где 0
2 ;
0
;
0
2 .
Теперь, для гиперсферы, заданной уравнениями (6), используя
формулу (1), найдем функцию плотности совместного распределения
параметров (в данном случае углов Эйлера), которая соответствует
равномерному распределению точек на ее поверхности. Результаты
аналитических преобразований дают функцию (2). Исходя из этого,
можно сделать вывод: множество равномерно распределенных точек
на поверхности трехмерной единичной гиперсферы в четырехмерном
евклидовом пространстве дает множество значений параметров Ро-
дрига — Гамильтона, соответствующих множеству равновероятных
вращений твердого тела, что является отражением факта двулистного
накрытия трехмерной гиперсферой группы
(3)
SO
[13].
Представление случайных вращений точками на трехмерной еди-
ничной гиперсфере в четырехмерном пространстве было рассмотрено
в работе П. Робертса и Д. Винча [15], а также упомянуто в работе
М.В. Боровкова и Т.И. Савеловой [16]. При этом в статье [15] была