2 / 10
С.А. Берестова, Н.П. Копытов, Е.А. Митюшов
2
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2017
точек, равномерно распределенных на поверхности трехмерной ги-
персферы в четырехмерном пространстве [6]. Данный результат мо-
жет быть полезен для моделирования ориентаций космических аппа-
ратов, описываемых кватернионами, либо параметрами Родрига —
Гамильтона при тестировании их систем управления [7, 8].
Доказательство того, что множество случайных равновероятных
вращений может быть представлено множеством равномерно рас-
пределенных случайных точек на поверхности трехмерной гиперсфе-
ры, позволяет перейти к равномерному дискретному распределению
точек на гиперсфере и, как следствие, равномерному дискретному
заполнению пространства вращений — ориентационного простран-
ства. Для этого могут быть использованы правильные простран-
ственные многогранники. Вершины данных многогранников, впи-
санных в трехмерную гиперсферу, дадут дискретное равномерное
распределение точек на гиперсфере и, соответственно, дискретный
набор ориентаций, соответствующий равномерному заполнению
пространства вращений.
Равномерное распределение точек на гиперповерхностях.
В работах [1–4] авторами был предложен метод описания и модели-
рования случайных равномерных распределений точек на гладких
регулярных поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве,
а также его обобщение для пространств различной размерности [5, 6].
Пусть функции
1 1 2
( , , ..., ),
m
x u u u
2 1 2
( , , ..., ),
m
x u u u
…,
1 2
( , , ..., ),
n
m
x u u u
где
1 2
( , , ..., )
,
m
u u u D
определяют гладкую регулярную
m
-мерную по-
верхность в
n
-мерном евклидовом пространстве. Здесь
D
—
m
-мерная
область определения функций
1 1 2
( , , ..., ),
m
x u u u
2 1 2
( , , ..., ),
m
x u u u
…,
1 2
( , , ..., ).
n
m
x u u u
Плотность распределения параметров
1 2
, , ...,
,
m
u u u
соответствующая равномерному распределению точек на этой поверх-
ности, определяется функцией
1 2
1 2
1 2
1 2
, ( , ,..., )
;
...
...
( , ,..., )
0,
( , ,..., )
.
m
m
D
m
m
g
u u u D
gdu du du
f u u u
u u u D
(
1)
Здесь
det( )
g
g ij
— определитель матрицы метрического тензора на
поверхности. Матрица метрического тензора на поверхности имеет
вид