4 / 11
С.З. Свердлов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5·2017
Формулу (7) можно переписать в виде
0
1
T
T
k
k
m
=
+
, (8)
где
0
100
0
T
zT k
gM
=
— тяговооруженность, рассчитанная по массе без ак-
кумуляторной батареи (при нулевой массе аккумулятора).
Подставив формулу (8) в выражение для КПД мотора (2), а фор-
мулу для КПД мотора (2) в формулу (5), по которой оценивается
время висения, получаем
(
)
(
)(
)
0
0
100
3 2
2
100
100
1
1
1
T
T
k
m
K
k
m
m
η
τ =
η + + − η +
. (9)
Для того чтобы определить значение
опт
,
m
при котором функция (9)
достигает максимума, найдем ее производную по
m
и приравняем
производную нулю. Получаем уравнение для определения
опт
m
:
(
) (
)(
)
0
100 опт
100 опт
опт
2 2 1
1
1 0
T
k
m
m m
η
− + − η
−
+ =
. (10)
Аналитическое решение уравнения (10) сводится к вычислению
корней алгебраического уравнения третьей степени. Воздержимся,
однако, от использования громоздких формул, которые получились
бы в этом случае.
Одним из ключевых параметров при проектировании мультикоп-
тера является тяговооруженность. При этом разработчика интересует
тяговооруженность аппарата с учетом массы аккумуляторной бата-
реи, т. е.
k
T
при найденном
опт
,
m
а не значение
0
.
T
k
Чтобы найти
опт
m
для заданной тяговооруженности оптимальной конфигурации,
выразим
0
T
k
из (8) через
:
T
k
(
)
0
опт
1
T T
k k
m
= +
. (11)
Подставим выражение (11) в уравнение (10):
(
)
(
) (
)(
)
опт 100 опт
100 опт
опт
1
2 2 1
1
1 0.
T
k
m
m
m m
+ η
− + − η
−
+ =
(12)
Теперь уравнение (12) можно разделить на
опт
1
,
m
+
понизив его
степень:
(
) (
)(
)
100 опт
100 опт
2 2 1
1 0.
T
k
m
m
η
− + − η
− =
(13)
Решение уравнения (13) дает значение относительной массы ак-
кумуляторной батареи, при котором достигается наибольшее время
висения при заданной тяговооруженности: