9 / 25
Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2016 9
жения при
n
= 2 функции
(2)
(3)
(2)
,
,
ε σ
j
ij
kl
u
— неизвестные, а
(1)
(2)
(1)
,
,
ε σ
j
ij
kl
u
— входные данные и т. д.
Решение задачи нулевого приближения.
Ввиду того, что задачи
(19) являются одномерными по локальной переменной
,
ξ
их решение
можно найти аналитически. Решение уравнений равновесия с гра-
ничными условиями в локальной задаче нулевого приближения име-
ет вид
(0)
3
0;
: 0, 5 0, 5.
i
σ : ∀ξ − < ξ <
(22)
Подставив (22) во вторую и третью группу определяющих соотно-
шений в системе (19), получаем:
(0)
3 3 3
0,
I K K
C
ε =
(0)
(0)
33
3333 33
0.
KL KL
C
C
ε ( ε =
Отсюда следует, что в нулевом приближении деформации межслойного
сдвига во всех слоях являются нулевыми, а поперечная деформация —
ненулевая
(0)
3
0;
ε =
K
(0)
(0)
33
3
;
ε = − ε
KL KL
Z
1
3
3333 33
.
KL
KL
Z C C
−
=
(23)
Подставив в (23) выражения для деформаций
(0)
3
ε
K
(0)
33
ε
из (19), по-
лучаем:
(1)
(0)
(0)
3
3,
/3
(1)
(0)
3
3/3
;
1, 2;
.
α α α α α
α
=
−
α =
= − ε
KL KL
u H O u O u
u
Z
(24)
После интегрирования этих уравнений с учетом условий
(1)
0
i
u
< >=
находим перемещения
(1)
:
i
u
(0)
(1)
(0)
3,
3
(1)
(1) (0)
3
3
(
);
.
α
α α α α
= −ξ
(
= ε
KL KL
ξ
O ξ H ξ
ξ U
(25)
Здесь учтено, что деформации
(0)
( ),
J KL
q
ε
согласно выражению (15), не
зависят от величины
.
ξ
Также здесь введено обозначение для следу-
ющей операции:
(1)
3
3
;
ξ
= − < ;
KL
KL
U
Z
0,5
0,5
.
ξ
ξ
ξ
−
−
< > =
ξ− <
ξ >
∫
∫
iKL
iKL
iKL
Z
Z d
Z d
(26)
Подставив выражения (23) в первую группу определяющих соот-
ношений системы (19), находим напряжения
(0)
:
IJ
σ
(0)
(0) (0)
;
σ = ε
IJ
IJKL KL
C
(0)
33 3
.
IJKL IJ
KL
IJKL
C C C Z
= −
(27)