6 / 25
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2016
слоев оболочки. Поэтому задача, отображенная в формулах (2)–(6),
содержит определение локальной координаты
,
ξ
а также малого па-
раметра
æ
в граничных условиях (коэффициент при давлении в фор-
муле (9)). Таким образом, ее решение представим в виде асимптоти-
ческого разложения по параметру
æ
как функции, зависящей от гло-
бальных и локальной координат:
(0)
( )
(0)
(1)
2 (2)
1
3 (3)
( )
( , )
( , )
( , ) ... .
n n
k
ij
k
k
k
k
n
k
u u
u u q
u q
u q
u q
∞
α
α
α
=
α
= (
=
(
u (
u (
(
u (
∑
æ
æ
æ
æ
(12)
Подставив разложение (12) в соотношения Коши (11), воспользу-
емся при этом правилами дифференцирования функций локальных
координат (8) и получим асимптотическое разложение для следую-
щих деформаций:
( )
(0)
(1)
2 (2)
0
... .
n n
ij
ij
ij
ij
ij
n
∞
=
ε = ε = ε ( ε ( ε (
∑
æ
æ æ
(13)
Здесь
( )
( )
( )
( )
,
1 2 ,
3
3
,
n
n
n
n
O u O O H u u H O
αα α α α
α β
α α
β
ε =
(
(
( )
( )
( )
1 2
1 ,2
2 1
2 ,1
12
1
2
2
(
)
(
) ,
n
n
n
H O u O H O u O
ε =
(
( )
( 1)
33
3/3
,
n
n
u
(
ε =
( )
( 1)
( )
( )
3
3,
3
/3
2
,
0, 1, 2, ... .
(
α
α α α α α
α
ε = (
−
=
n
n
n
n
u
O u O H u n
(14)
Подставив формулу (13) в закон Гука (4), получаем асимптотиче-
ское разложение для напряжений:
( )
(0)
(1)
2 (2)
0
... .
n n
ij
ij
ij
ij
ij
n
∞
=
σ = σ = σ ( σ ( σ (
∑
æ
æ æ
(15)
Здесь
( )
( )
( )
( )
( )
33
3 3
33
3
3
,
2
,
n
n
n
n
n
IJKL
IJ
I K
IJ
KL
I
K
C
C
C
σ = ε ( ε σ =
ε
( )
( )
( )
33
3333
33
33
.
n
n
n
KL KL
C
C
σ = ε ( ε
(16)
Формулировка локальных задач.
Подставив разложения (12) и
(15) в уравнения равновесия и граничные условия систем (1), (2), по-
лучаем