2 / 25
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин
2
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2016
давляющее большинство основано на определенных допущениях от-
носительно неизвестных функций — перемещений и напряжений, ко-
торые тем не менее с математической точки зрения не имеют доста-
точного обоснования. В работах [10–15] предложены теории тонких
пластин и оболочек, в том числе с двумерной микроструктурой —
гофрированными, сотовыми и сетчатыми конструкциями. Для их
обоснования использован метод асимптотического осреднения (ме-
тод гомогенизации), хорошо зарекомендовавший себя при осредне-
нии композитов с трехмерной периодической структурой [16–19].
В этих источниках введено допущение о линейном характере переме-
щений по толщине. Авторами работ [20–22] разработано асимптотиче-
ское осреднение тонких многослойных плоских пластин, в котором,
однако, априори не сделано предположение о линейности распределе-
ния перемещений, но оно позволяет получить явное выражение для
всех шести компонент тензора напряжений в тонких пластинах. В ста-
тье [23] проведено сравнение численных решений, полученных с по-
мощью разработанной асимптотической теории многослойных тонких
пластин и непосредственного численного решения задачи трехмерной
теории упругости. Полученные результаты показали высокую точ-
ность разработанного метода асимптотического осреднения. Авторами
работы [24] этот метод развит для случая криволинейных тонких много-
слойных оболочек.
Цель настоящей статьи заключается в дальнейшей разработке
асимптотической теории многослойных тонких композитных оболо-
чек, направленной на получение явных аналитических соотношений
для всех шести компонент тензора напряжений в оболочках.
Уравнения трехмерной теории упругости в криволинейных
координатах.
В трехмерном пространстве
3
R
с декартовыми коор-
динатами
i
x
рассмотрим поверхность
0
Σ
, заданную с помощью ор-
тогональных координат ( )
k i
q x
в виде
3
( ) 0,
i
q x
=
где
0
2
i
x
x
R
∈Σ ⊂
—
область изменения значений декартовых координат.
Рассмотрим оболочку — тело, которому соответствует область
3
,
V R
⊂
ограниченная внешней
+
Σ
и внутренней
−
Σ
поверхностями,
уравнения которых имеют вид
3
/ 2,
q
h
= −
3
/ 2,
q h
=
а также торце-
вой поверхностью
,
T
Σ
уравнение которой в криволинейных ортого-
нальных координатах
k
q
имеет вид
1 2
( ,
) 0.
F q q
=
Соотношение
( )
j
i
i
q q x
=
между криволинейными
i
q
и декартовыми координатами
j
x
будем считать гладкими функциями. Параметр
h
— толщина обо-
лочки, поверхность
3
0
q
=
— срединная поверхность оболочки
0
,
Σ