6 / 14
Ю.В. Захарова, Л.Г. Лохматова
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
Подставляя полученные аппроксимации в функционал (9), полу-
чаем
( )
( )
( )
т ( )
т ( )
1
П
δ
δ δ ,
2
e
e
e
e
e
W A
K
P
= − =
−
(15)
где
( )
( )
т
e
e
S
K B DBdS
=
∫
— матрица жесткости элемента;
( )
( )
т
e
p
e
S
P
N pdS
=
∫
—
вектор узловых сил.
Суммируя по элементам матрицу и вектор, получаем глобальную
матрицу жесткости и вектор. Минимизируя потенциальную энергию,
переходим к системе линейных алгебраических уравнений:
δ
K Q
=
, (16)
решая которую, находим перемещения узлов.
Определение деформаций и напряжений.
Для определения
деформаций и напряжений вычислим перемещения в точке
M,
соответствующей середине конечного элемента:
( ) N( ) .
u M M
= δ
(17)
Затем вычисляем обобщенные деформации в точке
М
, используя
формулы (3):
( ) ( )
( ) N( )
( ) .
e M L M u L M M B M
=
=
δ = δ
(18)
При численной реализации матрицу
( )
B M
необходимо сформиро-
вать при обработке конечного элемента.
Для вычисления усилий в центре конечного элемента необходи-
мо умножить деформации на матрицу коэффициентов приведенных
жесткостных характеристик (7):
T( )
( ) .
M De DB M
= =
δ
(19)
Далее можно вычислить напряжения, используя формулы (5).
Математическое моделирование дефекта оболочки
. При
изготовлении оболочек невозможно избежать появления начальных
расслоений и непроклеев. Данные виды дефектов моделируются изме-
нением упругих характеристик материала, определяемых формулами (8).
В представленной работе исследовали дефекты типа непроклея
прямоугольной формы, характеризуемые уменьшением жесткостных
характеристик материала в зоне дефекта в 4 и 9 раз [5]. Рассмат-
ривались дефекты, которые или примыкают к краю оболочки, или
находятся на ее середине (рис. 4).