Моделирование напряженно-деформированного состояния композиционных оболочек с дефектами

4 / 14

Ю.В. Захарова, Л.Г. Лохматова
4 Инженерный журнал: наука и инновации # 11·2016
где С hСαβ αβ = — мембранные жесткости;
3
12
h D С
αβ αβ = — изгибные
жесткости. Вычислим Сαβ по следующим формулам:
1 2
11 22 12 21 11
12 21 12 21
3
12
66 12 55 13 44 23 66
3 3
11 11 22 22 12 21 11
; ; ;
1 1
; ; ; ;
12
; ; ;
12 12
Е h Е h
C C C C
G h
C G h C G h C G h D
h h
D C D C D D
= = = µ
− µ µ − µ µ
= = = =
= = = µ
(8)
где 12 23 13, , G G G — модули поперечного сдвига.
Вариационная постановка задачи статики. Используем вариа-
ционную постановку задачи в перемещениях на основе принципа Ла-
гранжа [20–25]. Это позволит не выписывать явно уравнения сов-
местности деформаций, которые выполняются тождественно.
Разность энергии деформаций и работы внешних сил с учетом
выражения деформаций через перемещения (4) дает минимизируе-
мый функционал потенциальной энергии, в котором учтены статиче-
ские граничные условия (в данной работе в качестве граничных
условий принято жесткое закрепление торцев оболочки, что приво-
дит к соотношениям 0; 0; 0, 1, 2) : U Wα α : : ϑ : α :
( ) ( )т т т т 1 1
П .
2 2
p p
p p
S S S S
e DedV u pdS Lu D Lu dV u pdS = − = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (9)
Минимум функционала необходимо
отыскивать в пространстве кинематиче-
ски допустимых полей. Окончательно, с
учетом принятых гипотез при кинемати-
ческих условиях, определяемых схемой
закрепления, задача сводится к миними-
зации функционала вида
( )
min П min . W A → − (10)
Ее приближенное решение может
быть получено путем дискретизации мо-
дели.
Квадратичный двухмерный ко-
нечный элемент. Для численного реше-
ния задачи разобьем оболочку на конеч-
ные элементы (рис. 2).
Рис. 2. Разбиение цилиндри-
ческой оболочки на треуголь-
ные конечные элементы