9 / 19
Графическая трехмерная интерпретация телеметрии манипуляторов
Инженерный журнал: наука и инновации
# 2
2016 9
ров рассматриваемых манипуляторов. В этом случае формулы пере-
хода от системы
C
2
к
C
1
имеют вид
X
1
=
X
2
+
t
2
a
;
Y
1
=
Y
2
cos φ
2
–
Z
2
sin φ
2
–
t
2
b
;
(1)
Z
1
=
Y
2
sin φ
2
+
Z
2
cos φ
2
–
t
2
c
;
t
1
=
t
2
= 1.
Коэффициенты, стоящие перед
X
2
,
Y
2
,
Z
2
и
t
2
, можно представить
в виде элементов матрицы:
2
12
2
2
2
1 0
0
0 cos
–sin –
0 sin cos
–
0 0
0 1
.
a
b
c
М
(2)
Индексы 12 в обозначении матрицы
M
12
указывают, что соверша-
ется переход от системы координат
C
2
к системе
C
1
. Формулы (1) можно
представить как результат умножения этой матрицы на матрицу-столбец
r
2
, состоящую из координат точки
Q
в системе координат
C
2
:
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1 0
0
0 cos
–sin –
0 sin cos
–
1
.
0 0
0
X
a X
Y
b Y
Z
c Z
t
t
(3)
В сокращенной записи выражение (3) имеет следующий вид:
r
1
=
M
12
×
r
2
,
где
r
1
— матрица-столбец, представляющая собой однородные коор-
динаты точки
Q
в системе координат
C
1
.
При переходе от некоторой следующей системы
C
3
к
системе ко-
ординат
C
2
координаты точки
Q
определяются выражением
r
2
=
M
23
×
r
3
.
Следовательно, координаты точки
Q
при переходе от системы ко-
ординат
C
3
к системе
C
1
определяются выражением
r
1
=
M
12
×
M
23
×
r
3
.
Матрицы
M
из приведенного примера называются
матрицами
однородного преобразования
[3]. Используя систему координат Дена-
вита — Хартенберга (см. рис. 3), можно построить матрицы преоб-
разования для каждого звена манипулятора. Элементами матриц бу-
дут
b
i
и
a
i
и тригонометрические функции от α
i
и φ
i
. Произведение
матриц преобразования также представляет собой матрицу однород-