12 / 23
Ю.И. Димитриенко, И.Д. Димитриенко
12
где
0
— набла-оператор в отсчетной конфигурации [18, 19]. К урав-
нениям (32) присоединим соотношения (5) для тензора напряжений
Пиолы — Кирхгофа, уравнение неразрывности
0
/ det ,
F
соотно-
шения (1) для энергетических тензоров деформаций, соотношения
(31) для функций
,
соотношения (27)–(29) для условий пластично-
сти и параметров нагружения
.
Остальные обозначения введены
выше. Система уравнений (32) рассматривается относительно следу-
ющих неизвестных функций:
,
υ
,
u
,
F
( )
,
n
T
,
n
p
C
( )
.
W
К системе уравнений (32) присоединяем граничные условия иде-
ального контакта на части
0
1
поверхности, а также условия на сво-
бодной поверхности
0
2
:
0 0
0
1
2
:
0,
0;
:
0.
0
n P υ
n P
(33)
Если ударник отскакивает от преграды, то на поверхности кон-
такта
0
1
выполняется условие
0
n
[
P
] =
0
. Начальные условия к си-
стеме уравнений (32):
0 :
,
,
,
,
0,
0,
n
n
p
t
0
υ υ u 0 F E C 0 T
( )
.
W 0
(34)
Задача при прямом соударении по преграде из ТКМ.
Рассмот-
рим случай прямого соударения, который значительно упрощает мо-
делирование и сводится к рассмотрению осесимметричного варианта
постановки задачи (32)–(34) при
.
n V
Примем, что область
0
V
в
0
K
и тип анизотропии (группа симметрии
G
s
ударника и преграды)
предполагают наличие оси симметрии
OX
3
в лагранжевой системе
координат
X
i
, в качестве которой выберем цилиндрическую систему
координат:
X
1
=
r
,
X
2
=
,
X
3
=
z
. Тогда может быть сформулирована
осесимметричная постановка задачи (32)–(34). Запишем эту поста-
новку в физических координатах, используя компонентную запись
дифференциальных операторов и тензоров [18]:
0
0
;
;
r
rr
rz
z
zr
zz
rv
rP rP P
t
r
z
rv
rP rP
t
r
z
(35)