4 / 11
Ю.В. Журавлёв
4
(1)
(2)
( )
(1)
( )
0
0
0
0
0
0
(1)
(2)
( )
(1)
( )
1
1
1
1
1
1
(1)
(2)
(
,
, ...
,
,
, ...
,
,
, ...
,
,
, ...
,
... ... ... ... ... ... .................................................................
,
, ...
n
m
n
m
n
n m
n m
n m
G y G y G y G x G x G x
G y G y G y G x G x G x
G y G y G
)
(1)
( )
1
2
0
1
0
1
1
,
,
, ...
,
,
( 1)
,
,
,
( 1)
m
n m
n m
n m
n
n
n m
m
m
y G x G x G x
a
a
G y
a
G y
b
b
G y
b
(10)
однако следует учитывать, что рост размерности системы ведет к рас-
ширению необходимого числа независимых производящих функций
G
0
(
t
),
G
1
(
t
), …,
G
n
+
m
(
t
), а также к ухудшению обусловленности задачи.
Функции Эрмита как производящие.
В качестве производящих
функций можно использовать функции Эрмита [5, 6, 11]:
2
2
2
2
0
1
2
2
2
3
4
3
4
2
5
3
5
( ) exp(
); ( ) exp(
);
( ) (
1) exp(
);
2
2
2
( ) (
3 ) exp(
);
( ) (
6 3) exp(
);
2
2
( ) (
10 15 ) exp(
), ... .
2
r
r
r
G r
G r r
G r r
r
r
G r r r
G r r
r
r
G r r
r
r
(11)
Здесь произвольная функция Эрмита
k
-го порядка выражается через
k
-ю производную функции ошибок из теории вероятностей
G
k
(
r
) =
= (–1)
k
[exp(–
r
2
/2)]
(
k
)
. При этом
d/dr
(
G
k
(
r
) ) = –
G
k+1
(
r
) и (
G
k
(
r
))
(
n
)
=
= (–1)
n
G
k+n
(
r
). Функция Эрмита
G
k
(
r
) приближенно финитная, она
осциллирует на «
-носителе» [–
r
k
,
r
k
], но на границе «
-носителя» по
модулю равна малому
, т. е. |
G
k
(
r
k
)| =
, и вне «
-носителя» моно-
тонно исчезает до нуля при r
. Например,
G
0
(3) = 0,01110899654,
G
0
(5) = 3,726653172
10
–6
,
G
0
(10) = 1,928749848
10
–22
,
G
2
(5) =
= 8,943967613
10
–5
,
G
2
(10) = 1,909462349
10
–20
. Функции Эрмита
меньшего порядка имеют свои «
-носители», вложенные в «
-
носитель» функции большего порядка. Носителем семейства функ-
ций Эрмита будет носитель [–
r
k
,
r
k
] функции наибольшего порядка
k
.