2 / 11
Ю.В. Журавлёв
2
ским объектом: на первом этапе надо работать с моделью (2), а на
втором — с полной моделью (1). Множество научных работ посвя-
щено рассматриваемой проблеме, например работы [3–9].
Метод производящих функций
[5, 6, 9]. Умножим уравнение (2)
на так называемую производящую функцию
g
(
t
)
C
n
[0,
T
], удовле-
творяющую вместе со всеми производными вплоть до порядка
n
–1
краевым условиям однородности
g
(
k
)
(0) =
g
(
k
)
(
T
) = 0,
k
= 0, 1, …,
n
–1.
После этого почленно проинтегрируем полученную левую часть
уравнения по
t
на отрезке [0,
T
]. Используя
k
-кратное интегрирование
по частям при вычислении интеграла от функции
z
(
k
)
(
t
)
g
(
t
), получаем
нулевые внеинтегральные слагаемые вследствие однородности крае-
вых условий на производные производящей функции, тогда
( )
( ) ( )
( ) ( ) = (–1)
( ) ( ) .
0
0
T
T
k
k
k
z t g t dt
g t z t dt
(3)
Введем обозначение
( , )
( ) ( ) .
0
T
u v u t v t dt
(4)
Первый этап.
С учетом (3), (4) дифференциальная модель (2) пе-
реходит в алгебраическую:
( )
0
1
2
( , ) ( ', )
( '', ) ... ( 1) ( , ) 0.
n
n
n
a g z a g z a g z
a g z
(5)
В уравнении (5) можно положить
a
0
= 1. Исследуем это уравне-
ние для выработки рекомендаций по выбору функций
z
(
t
), в совокуп-
ности независимых [2] на отрезке [0,
T
], а также по выбору произво-
дящих функций
g
(
t
), независимых на отрезке [0,
T
], чтобы
предложить непротиворечивый алгоритм оценивания коэффициентов
a
i
(
i
= 1, 2, …,
n
). Запишем уравнение (5) в матричной форме:
1
2
( )
( ', ) ( '', )...( , )
( , ).
( 1)
n
n
n
a
a
g z g z g z
g z
a
(6)
Теперь
введем
в
рассмотрение
векторы-столбцы
( )
0
( )
( )
1
( )
1
( )
( )
( )
,
0, 1, ..., ,
( )
k
k
k
k
n
G t
G t
g t
k
n
G t
где компоненты
( )
( ) ( 0, 1, ...)
k
i
G t i
об-
разуют независимую на отрезке [0,
T
] совокупность
k
-х производных