7 / 15
Отражение лазерного излучения линзой Люнеберга…
7
и уравнение луча в параметрическом виде
1
1
cos
i
,
,
s n
k
k
i k
j
k
k
i k
j
x x c t
y y c t
(13)
где
6
1
1
k
k
T t
— суммарное время, за которое центр линзы сместит-
ся при рассмотрении
k
-й точки;
1, 2
R
— радиусы внешнего мениска и
внутреннего шара;
,
0, ..., 5,
j
j
— некоторый вспомогательный
угол (его вычисление приведено далее).
Координаты точки 0 (см. рис. 1) определим следующим образом:
0 1
0 0 1
0
cos ;
si
. n
x R
y R
В системе (13) знак «+» соответствует случаю
до отражения
лу-
ча в точке 3, знак «–» —
после отражения
луча в точке 3.
Подставим уравнение луча (13) в уравнение окружности (12)
и разрешим его относительно времени. После упрощений получим
квадратное уравнение
2
1, 2
1, 2
0.
a t
b t f
(14)
Здесь коэффициенты
а
и
b
рассчитывают следующим образом:
до отражения
2
2
1
( sin
) ( cos
) ,
y j
j
i
i
x
a с
v
с
v
1
1
1
2(
)( cos
) 2(
)( sin
);
j
x k
i
x
y
k
i
y j
b
Tv x с
v
Tv y с
v
после отражения
2
2
2
( sin
) (
,
cos
)
i
y
i
x
j
j
a с
v
с
v
2
1
1
2(
)( cos
) 2(
)( sin ).
x k
i
x
y
k
j
i
y j
b
Tv x
с
v
Tv y
с
v
Коэффициент
f
в уравнении (14) для обоих случаев одинаков
и имеет вид
2
2
2
1
1
1, 2
.
x k
y
k
Tv x
Tv y
R
f
Выбор радиусов
1, 2
R
зависит от того, в какой точке луч пересе-
кает рассматриваемую линзу.