4 / 15
В.О. Гладышев, А.А. Терешин, А.В. Яворский, Д.Д. Базлева
4
,
e
t
n t
n
k k k k k n
(2)
где
,
t
n
k k
— тангенциальные компоненты волнового вектора, на-
правленные соответственно параллельно плоскости границы раздела
и перпендикулярно ей.
С учетом (2) получим уравнение для фазы плоской волны
на движущейся границе раздела
exp ,
exp
,
exp ,
exp ,
,
t t
n
e
t t
e
i k r
i k n v
t
i k r
i k v
t
(3)
где
t
r
— вектор, лежащий в плоскости поверхности раздела;
v
—
скорость границы раздела.
Представив в таком виде фазы всех «сшиваемых» волн на грани-
це раздела и потребовав равенства их фаз на границе, получим
0
1.1
2.1
2.2
,
t
t
t
t
t
k k k k
I
(4)
где
t
I
— инвариант, выражающий равенство тангенциальных ком-
понент волновых векторов всех сопрягаемых волн на границе разде-
ла. В системе координат, в которой граница раздела покоится, инва-
риант, выражающий равенство частот всех сопрягаемых волн,
1
0
0
1.1
1.1
2.1
2.1
2.2
2.2
,
,
,
,
,
I
k v
k v
k v
k v
(5)
т. е. если
0
v
, то
0 1.1 2.1 2.2
[9].
Если задана падающая волна, а именно ее частота
0
и компо-
ненты волнового вектора
0
,
k
то с помощью соотношений (4) и (5)
можно определить частоты и волновые векторы всех остальных волн.
Помимо этого необходимо использовать дисперсионное уравнение (1)
для каждой из движущихся сред.
При заданной падающей волне известны тангенциальная компо-
нента волнового вектора
t
t
k I
и комбинация
1
,
n
e
I k v
где
, .
n
k k v
Единичный вектор
n
нормали к поверхности раздела счи-
таем направленным из первой среды во вторую.
Подставив в уравнение (1) с учетом уравнения (2)
t
t
k I
и
1
n
e
I k v
при условии, что
v
=
u
, получим квадратное уравнение
для частоты
,
e
решение которого имеет вид
2
1/2
1 1
1
1
1
1
1
1
2
1, 2
2
2
1 1
1
1
,
.
1
n
n
t
n
d
Q
I
(6)