1
УДК 531.352
Характеристические показатели периодических
решений гамильтоновых систем и
необходимые условия устойчивости
© А.А. Панкратов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрена гамильтонова система с малым параметром специального вида
(основная задача динамики по терминологии А. Пуанкаре). Исследована структура
разложения характеристических показателей периодических решений в ряды
по целым и дробным степеням малого параметра. Получены основные члены
в этих разложениях, найдены необходимые условия устойчивости периодических
решений.
Ключевые слова:
гамильтонова система, метод Пуанкаре, периодические и услов-
но-периодические движения, характеристические показатели, устойчивость.
Рассмотрим гамильтонову систему с малым параметром
:
т
т
т
т
;
;
;
.
dI
F d
F
dt
dt
I
dJ F d
F
dt
dt
J
(1)
В системе уравнений (1)
т
1
( , ...,
) ,
l
I p p
т
1
(
, ...,
) ,
l
N
J p
p
т
т т
1
( , ...,
) ( ,
),
N
p p p I J
т
1
( , ..., ) ,
l
q q
т
1
( , ...,
) ,
l
N
q
q
т
т т
1
( , ...,
) ( ,
),
N
q q q
(2)
2
0
1
2
( , , , )
( )
( , , )
( , , ) ...
F p q t
F I
F p q t
F p q t
,
1.
Пусть
F
— аналитическая функция позиционных переменных
,
p
угловых канонических переменных
q
и времени
t
в области
1
,
N
D T T
где
D
— связная ограниченная область
N
R
1
, ...,
N
p p
N
-мерной плоскости;
1
, ...,
mod 2
N
N
T q q
—
N
-мерный тор;
1
,
T t
mod
0
.
T
Тогда функции
( , , )
i
F p q t
можно разложить в сходя-
щиеся ряды Фурье по кратным угловых переменных
q
и
,
t
где
0
2
T
— основная частота;
0
T
— период:
1
1
1
( ,
)
(1)
(2)
1
*( ,
)
(1)
(2)
1
( , , )
( , ) cos
( , ) sin
.
N
N
N
k k
i
N
i
k k
k k
N
i
F p q t
F I J
k
k
k t
F
I J
k
k
k t
