А.А. Панкратов
2
Здесь
(1)
(2)
(1)
(2)
1
1
(1)
(2)
1
, ...,
,
, ...,
,
,
,
( 1, ...,
1),
.
l
l
N
N
i
i
i
k
k k k
k
k k k k
k Z i
N k k
k
k
(3)
Уравнения (1)–(3) представляют собой важный пример систем
дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, и широко
применяются в небесной механике. Правые части уравнений (1)–(3) —
периодические функции времени с периодом
0
.
T
При исследовании та-
кой системы возникает вопрос об условиях существования периодиче-
ских решений уравнений (1)–(3) с периодом
,
T
равным или кратным
0
,
T
хотя бы для достаточно малых значений параметра
,
а также об
условиях устойчивости этих периодических решений.
А. Пуанкаре получил достаточные условия существования пери-
одических решений уравнений (1)–(3) и необходимые условия их
устойчивости в форме, удобной для приложения [1]. Однако во мно-
гих практических задачах классические условия Пуанкаре наруша-
ются [2–4]. Вопрос о существовании периодических решений в по-
добных случаях (в дальнейшем будем называть их особыми или вы-
рожденными) остается открытым. В работах [3, 4] для одного особо-
го, важного для приложений случая найдены новые достаточные
условия существования периодических решений, изучена структура
разложения характеристических показателей в ряды по целым и
дробным степеням малого параметра
и получены алгебраические
формулы для нахождения основных коэффициентов в разложениях
соответствующих характеристических показателей. Сформулируем
эти результаты в виде теорем.
Теорема 1.
Дифференциальные уравнения (1)–(3) допускают при
малых
0
периодические решения, близкие к порождающему ре-
шению:
1
;
I а
2
;
J а
(0)
1
;
n t
2
,
(4)
где
1 2 1 2
,
,
,
а a
— некоторые постоянные;
(0)
0
т
1
F
n
a
0
т
1 1 1
,
F
I I a
если параметры
1 2 1 2
,
,
,
а a
порождающего реше-
ния удовлетворяют следующим условиям:
(0) т
1
1
( ) ,
, ..., ,
,
l
N
n
c k k k
1
1
0,
, НОД , ..., ,
1 ;
i
l
N
с
k Z
k
k k
(5)
