Характеристические показатели периодических решений гамильтоновых систем…
9
2
2
2
2
2
2
11
21
т
т
12
12
12 12
12 22
2
2
2
2
2
2
31
32
т
т
12
22
12 22
22 22
2
2
2
23
т
22
22 22
;
;
;
;
.
I
J
J
F
F
A
A
F
F
A
A
a
a
F
A
a
a
(37)
Здесь введены обозначения, аналогичные обозначениям (24), а именно:
0 1
0 2
0 1
0 2
2
т
0
,
,
,
;
I
I a J a
V Wdt
0 1
0 2
0 1
0 2
2
т
,
,
0
,
;
J
I a J a
V Wdt
0 1
0 2
0 1
0 2
2
т
,
,
0
,
.
I a J a
V Wdt
J
(38)
В формулах (25)–(33)
21 22 11 12 21 22
,
,
,
,
,
a a
— порождаю-
щие значения групп переменных
, , , , ,
J J
соответственно,
в формуле (29)
1
a
— порождающие значения канонических перемен-
ных, сопряженных переменным
.
Отметим, что случай кратных
корней уравнений (33)–(36) исключен при рассмотрении структуры
разложения характеристических показателей.
Как известно [1–3, 5, 6], устойчивость периодических решений
системы (1) с гамильтонианом (2) существует лишь по первому при-
ближению. Поскольку характеристическое уравнение возвратное, то
можно найти лишь неустойчивые периодические решения, а вопрос
об устойчивости остается, вообще говоря, открытым. Можно дать
лишь необходимые условия устойчивости: характеристические пока-
затели не должны иметь действительную часть, т. е. характеристиче-
ские показатели должны быть чисто мнимыми.
Тогда из формул (29)–(32) (а также (9), (10) и (20), (21)) получаем
необходимые условия устойчивости исследуемых периодических
решений:
2 (0)
0;
i
(39)
