Характеристические показатели периодических решений гамильтоновых систем…
5
Условия (8) в выражениях (15) и (16) заведомо нарушаются.
В работах [3, 4] для этих случаев найдены новые достаточные усло-
вия существования периодических решений, изучена структура раз-
ложения характеристических показателей в ряды по целым и дроб-
ным степеням малого параметра
и получены алгебраические фор-
мулы для нахождения основных коэффициентов в разложениях соот-
ветствующих характеристических показателей. Сформулируем эти
результаты в виде соответствующих теорем.
Теорема 2.
Дифференциальные уравнения (1)–(3) допускают при
малых
0
периодические решения, близкие к порождающему реше-
нию (4), если параметры
1 2 1 2
,
,
,
а a
порождающего решения будут
удовлетворять условиям (5) и (7), а также следующим условиям:
2
т
1
0;
I
F
2
т
2
0;
J
F
2
т
2
0;
F
a
(18)
2
2
2
2
2
2
т
т
т
1
2
2
1 1
2 1
2 1
2
2
2
2
2
2
т
т
т
1
2
2
1 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
т
т
т
1
2
2
1 2
2 2
2 2
det
0.
I
I
I
J
J
J
F
F
F
a
a
F
F
F
a
a
F
F
F
a
a
a
a a
(19)
Характеристические показатели исследуемых периодических ре-
шений будут раскладываться в ряды по целым степеням малого па-
раметра
(считаем, что уравнения, определяющие основные коэф-
фициенты в разложениях характеристических показателей имеют
простые корни) и образуют два типа показателей. Для первого типа
характеристических показателей
i
(
1, ..., 2
i
l
) разложения в ряд
начинаются с членов первого порядка, а для второго типа характери-
стических показателей
i
(
1, ..., 2(
)
i
N l
) — с членов второго по-
рядка, т. е.
(0)
(1) 2 (2) 3
... ;
i
i
i
i
(20)
(0) 2 (1) 3 (2) 4
... .
i
i
i
i
(21)
Основные коэффициенты в соответствующих разложениях нахо-
дят из уравнений
