Об одной задаче оптимальной остановки марковских цепей
1
УДК 519.718
Об одной задаче оптимальной остановки
марковских цепей
© А.В. Анферова, Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Для марковской цепи с дискретным или непрерывным множеством состояний рас-
смотрена задача нахождения двух марковских моментов остановки, для которых
математическое ожидание разности значений случайного процесса в эти момен-
ты времени имеет максимальное значение. Интерпретация задачи — моменты
покупки и продажи финансового актива в условиях, когда цена на этот актив из-
меняется по закону марковской цепи с заданной матрицей переходных вероятно-
стей. Приведены результаты численных расчетов для ряда моделей марковских
цепей.
Ключевые слова:
марковская цепь, момент остановки, переходные вероятности,
метод обратной индукции, случайное блуждание, модель Эренфестов.
Введение.
Пусть на конечном временнóм интервале
[0, ]
N
задана
марковская цепь
,
n
X
[
]
0, 1, ...,
.
n
N
∈
Случайная величина
( )
,
τ = τ ω
принимающая значения из множества
[
]
0, 1, ...,
,
N
называется марков-
ским моментом остановки, если при всех
[
]
0, 1, ...,
l
N
∈
имеет место
включение
( )
{
}
{
}
0 1
:
,
, ...,
,
l
l
X X X
ω τ ω = ∈σ
где
{
}
0 1
,
, ...,
l
X X X
σ
—
сигма-алгебра, порожденная случайными величинами
0 1
,
, ...,
,
l
X X X
т. е. принятие решения об остановке в момент времени
l
{
}
(
)
l
τ =
определяется по поведению марковской цепи до момен-
та
l
включительно.
Задача заключается в том, чтобы отыскать два марковских мо-
мента остановки
τ
и
σ
, таких, что
(
)
max,
X X
τ
σ
Μ − →
где
( )
Μ
—
математическое ожидание случайной величины.
Интерпретация задачи.
Пусть цена некоторого актива изменя-
ется по закону, описываемому марковской цепью
n
X
. Если
σ
— мо-
мент покупки актива, а
τ
— момент его продажи, то задача состоит в
том, чтобы получить максимальный средний выигрыш от операции
«покупка—продажа» актива. В дальнейшем будем придерживаться
терминологии в рамках этой интерпретации. Будем различать страте-
гию поведения игроков двух типов: 1) склонный к риску игрок поку-
пает актив и не продает имеющийся на руках актив, даже если ожи-
