Об одной задаче оптимальной остановки марковских цепей
3
Аналогично при
2
l N
= −
(
2
N
j
X t
−
=
)
( )
( )
1
2
1
1
2
1
2,
( )
, ;
2,
( )
, .
m
j
N i
N
i
m
j
N i
N
i
N t
S t
j i
N
t
S t
j i
−
−
=
−
−
=
⎧
> −
<
Ρ
⎪⎪
τ =
⎨
⎪
−
≥
Ρ
⎪⎩
∑
∑
Средний выигрыш
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
1
( )
, ;
,
( )
, .
m
N i
N
i
N j
m
j
j
N i
N
i
S t
j i
S t
t
t
S t
j i
−
−
=
−
−
−
=
⎧
Ρ
⎪⎪
=
⎨
⎪
≥
Ρ
⎪⎩
∑
∑
Для произвольного момента времени
l
(
,
l
j
X t
l
= τ ≥
) имеют ме-
сто следующие соотношения:
( )
( )
1
1
1
1
,
( )
, ;
,
( )
, ,
m
j
l
i
l
i
m
j
l
i
l
i
l t
S t
j i
l
t
S t
j i
+
=
+
=
⎧
> <
Ρ
⎪⎪
τ =
⎨
⎪
≥
Ρ
⎪⎩
∑
∑
( )
( )
( )
1
1
1
1
( )
, ;
,
( )
, .
m
l
i
l
i
l
j
m
j
j
l
i
l
i
S t
j i
S t
t
t
S t
j i
+
=
+
=
⎧
Ρ
⎪⎪
=
⎨
⎪
≥
Ρ
⎪⎩
∑
∑
Таким образом, стратегия продажи актива заключается в том, что
актив продается, если предлагаемая цена
l
j
X t
=
выше ожидаемого
дохода от продажи в будущем
( )
1
1
( )
, .
m
l
i
l
i
S t
j i
+
=
Ρ
∑
Далее рассмотрим момент покупки
.
σ
Ясно, что
1.
N
σ ≤ −
Пусть
1
.
N j
X t
−
=
Обозначим через
( )
l
G t
среднюю доходность от опе-
рации «покупка—продажа» актива при условии, что
,
l
X t
=
{
}
1 2
, , ...,
,
m
t
t t
t
∈
1, 2, ..., .
l
N
=
Имеет смысл купить актив (
1
N
σ = −
),
если
j
t
меньше ожидаемого дохода от продажи актива
( )
1
N j
S t
−
. В
этом случае стратегия остановки
( )
( )
1
1
1
1
,
, ;
1,
,
m
j
i N
i
m
j
i N
i
t
t
j i
N t
t
j i
−
=
−
=
⎧
−
≥ Ρ
⎪⎪
σ =
⎨
⎪
− < Ρ
⎪⎩
∑
∑
и средняя доходность для операции «покупка—продажа»
