Об одной задаче оптимальной остановки марковских цепей
9
если ожидаемый доход на следующий момент
1
( , )
b
N
a
s p t s ds
−
∫
боль-
ше, чем предлагаемая цена
1
,
N
X t
−
=
то имеет смысл ждать еще один
шаг; в противном случае
.
l
τ =
Таким образом,
1
1
,
( , ) ;
1,
( , ) ;
b
N
a
b
N
a
N t
u p t u du
N t
u p t u du
−
−
⎧
<
⎪
⎪
τ =
⎨
⎪
− ≥
⎪
⎩
∫
∫
( )
1
1
1
1
( , ) ,
( , ) ;
,
( , ) .
b
b
N
N
a
a
N
b
N
a
u p t u du t
u p t u du
S t
t
t
u p t u du
−
−
−
−
⎧
<
⎪
⎪
=
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
∫
∫
∫
Для непрерывной марковской цепи стратегия поведения игрока
не зависит от склонности к риску, так как знак равенства в определе-
нии
τ
достигается с нулевой вероятностью.
Аналогично дискретному случаю для момента продажи
τ
, если
,
l
X t
=
,
l
τ ≥
то
1
1
,
( ) ( , ) ;
,
( ) ( , ) ;
b
l
l
a
b
l
l
a
l t
S u p t u du
l
t
S u p t u du
+
+
⎧
> <
⎪
⎪
τ =
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
∫
∫
( )
1
1
1
( ) ( , ) ,
( ) ( , ) ;
,
( ) ( , ) .
b
b
l
l
l
l
a
a
l
b
l
l
a
S u p t u du t
S u p t u du
S t
t
t
S u p t u du
+
+
+
⎧
<
⎪
⎪
=
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
∫
∫
∫
Для момента покупки актива в момент времени
1
t N
= −
1
1
,
( , ) ;
1,
( , ) .
b
N
a
b
N
a
t
u p t u du
N t
u p t u du
−
−
⎧
−
>
⎪
⎪
σ =
⎨
⎪
− ≤
⎪
⎩
∫
∫
