22
А.А. Валишин, Т.С. Степанова
Взаимно-обратные функции
g
(
ρ
) и
g
–1
(
t
) обе монотонно возрастают,
поэтому их производные положительны.
Итак, число дырок в произвольный момент
t
равно
p
(
V
0
)
Φ
(
t
), где
p
(
V
0
) — число слабых узлов несущего каркаса эластической зоны, т. е.
количество «вакансий» для дырок; оно растет с увеличением объема
эластической зоны. Средняя концентрация дырок, т. е. число дырок
в единице объема эластической зоны будет
0
0
( )
( )
( ).
p V
C t
t
V
=
Φ
Она растет с течением времени. Когда концентрация дырок достигает
некоторого критического значения
C
k
, эластическая зона уже неспо-
собна «держать» напряжение σ
в
и происходит ее коллапс, т. е. поте-
ря устойчивости. Это наступает в момент
t
k
, который определяется из
условия
0
0
( ) ( )
.
k
k
p V t
C
V
Φ =
(22)
По достижении момента
t
k
трещина разрушения быстро «проскакива-
ет» эластическую зону, увеличивая свой размер на длину зоны.
Процесс накопления дырок в эластической зоне описывается функ-
цией распределения времен распада слабых узлов
Φ
(
t
), которая, в свою
очередь, определяется через функцию распределения узлов по их мощ-
ности
F
(
ρ
) в соответствии с формулой (21). Функцию распределения
F
(
ρ
) или ее плотность
f
(
ρ
) нужно выбрать из разумных физических
предположений так, чтобы полученные дальнейшие результаты согла-
совывались с экспериментальными данными. Во-первых, плотность
распределения
f
(
ρ
) отлична от нуля только на положительной полуоси
ρ
0; во-вторых, при
ρ
= 0 она должна обращаться в нуль, так как узлы
нулевой мощности, т. е. несодержащие несущих элементов, отсутству-
ют; в-третьих, при больших значениях
ρ
она должна достаточно бы-
стро убывать, так как слишком высокомощных узлов в эластической
зоне должно быть мало; в-четвертых, наибольшее количество узлов
имеет некоторую «типичную» мощность, а остальные группируются
около этого одного или нескольких типичных значений мощности. Со-
ответственно кривая распределения
f
(
ρ
) является одно- или полимо-
дальной. Распределение, удовлетворяющее всем этим условиям — это
известное в теории надежности распределение Вейбулла и различные
его частные случаи. Простейшим из них является распределение Рэлея,
которое и выберем. Удобно будет плотность распределения Рэлея при-
менительно к распределению узлов по мощности и записать в виде
