Исследование модели Ньюмана биологической эволюции
Для всех распределений шоков, кроме распределения Парето, раз-
мер вымирания определяется как сумма содержимого карманов ги-
стограммы с номерами, не превышающими , где
∈
(0; 1)
(зна-
чения, не удовлетворяющие указанному условию, отбрасывались). В
результате вымирания содержимое этих карманов равномерно распре-
деляется по всем карманам гистограммы. То же самое проделывается
еще и с
1
/
долей содержимого каждого кармана, что соответствует
уничтожения одного случайно выбранного вида.
Размер вымираний не может превышать размера всей экосистемы ,
поэтому область применимости степенного вида распределения (9)
должна быть ограничена справа некоторым значением, зависящим
от значения . Для обработки результатов эксперимента используем
метод
конечно-размерного скейлинга
, основанный на представлении
плотности в виде
( ) =
−
b
(
−
n
)
.
(14)
Требование совпадения формул (9) и (14) в области промежуточ-
ной асимптотики
≪
n
обусловливает степенной вид функции
( )
∼
−
t
при
≪
1
и связывает показатели скейлинговым соотно-
шением
b
=
nt
.
(15)
Это соотношение позволяет экспериментально определять показа-
тель распределения
t
даже тогда, когда выделение степенного участка
графика затруднено из-за небольшой протяженности промежуточной
асимптотики. При правильно подобранных значениях
n
и
b
зависимо-
сти
b
( )
от
−
n
, полученные при разных значениях , должны
совпасть.
Нестепенные распределения шоков.
Пример применения метода
конечно-размерного скейлинга при определении показателя распре-
деления вымираний для экспоненциального распределения шоков со
средним приведен на рис. 1. Результаты моделирования подтве-
рждают значение
t
= 2
при
≪
max
∼
. Пропорциональность
крупнейшего события размеру экосистемы вполне ожидаема, как и
ожидаем сравнительно небольшой коэффициент этой пропорциональ-
ности. В самом деле, будь он близок к единице, крупнейшие вымира-
ния затрагивали бы практически всю экосистему. При этом в ней не
было бы сверхкритических видов, случайное уничтожение которых
обеспечивает постоянство скорости видообразования.
На рис. 2 можно проследить изменение распределения вымираний
при варьировании параметра распределения шоков. Легко видеть, что
пока
max
≈
, распределение вымираний плохо описывается степен-
ным законом. Для экспоненциального распределения условие разде-
ления (2), (3) принимает вид
ln
≪
1
, что при разумных размерах
7
