В.С. Зарубин
различных форм, среди которых в качестве средней статистической
можно принять форму шаровой полости. Среду в шаровой полости
будем считать диатермичной, т. е. не поглощающей и не рассеиваю-
щей излучение. Свойства сферической поверхности этой полости при-
мем соответствующими свойствам диффузно-серой поверхности [5, 6]
с коэффициентом излучения
e
.
Перенос теплоты теплопроводностью.
Пусть шаровая полость
радиусом
0
находится в неограниченной области, заполненной одно-
родным материалом с коэффициентом теплопроводности
l
. В цент-
ре полости поместим начало сферической системы координат
,
j
,
q
,
а на большом расстоянии от центра полости зададим вектор гра-
диента температурного поля в этом материале, имеющий модуль ,
направленный вдоль оси, от которой отсчитывается угловая коорди-
ната
j
. Тогда при
→ ∞
установившееся осесимметричное (не зави-
сящее от угловой координаты
q
) распределение температуры в этом
материале описывает функция
∞
(
,
j
) =
0
+ cos
j
, где
0
— тем-
пература в плоскости при
j
=
p
/
2
. Эта функция удовлетворяет урав-
нению Лапласа, которое в сферических координатах с учетом осевой
симметрии имеет вид
1
2
(︁
2
)︁
+
1
2
sin
j j
(︁
sin
j
j
)︁
= 0
.
(1)
По мере приближения к шаровой полости температурное поле
в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое
удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым [7]
D
(
,
j
) = (
/
2
) cos
j
, где — постоянный коэффициент. Таким
образом, температурное поле в этом материале, удовлетворяющее
заданному условию при
→ ∞
и уравнению (1), описывает функция
(
,
j
) =
∞
(
,
j
) +
D
(
,
j
) =
0
+
(︁
+
2
)︁
cos
j
.
(2)
При условной замене шаровой полости шаровым включением
с искомым коэффициентом теплопроводности
l
осесимметричное
установившееся температурное поле в таком включении в силу огра-
ниченности значения температуры в его центре будет иметь вектор
градиента с постоянным модулем , также направленный вдоль
оси при
j
= 0
. При этом распределение температуры во включении,
удовлетворяющее уравнению (1), описывается функцией
(
,
j
) =
0
+ cos
j
.
(3)
В соотношения (2) и (3) входят два неизвестных коэффициента
и , которые следует найти из условий непрерывности при
=
0
распределения температуры и плотности теплового потока
(
0
,
j
) = (
1
,
j
)
и
l
⃒ ⃒ ⃒
=
0
=
l
⃒ ⃒ ⃒
=
0
.
2
