Генерирование матриц специального вида: аналитический подход
9
Нормируя ее по строкам, получаем ортогональную матрицу
Q
:
1 2
1
6 6
6
2
1 0 ,
5
5
5
1 2
30 30
30
Q
являющуюся матрицей перехода от нового ортонормированного ба-
зиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, к ста-
рому. Понятно, что искомая в задаче матрица перехода от старого
базиса к новому есть
.
T
Q
Возьмем каноническую квадратичную форму от новых перемен-
ных
Х
,
Y
и
Z
с неопределенными коэффициентами
( , , )
X Y Z
2
2
2
1
2
3
X Y Z
и выполним в ней замену переменных:
1 ( 2 ),
6
1 (2 ),
5
1 ( 2 5 ).
30
X
x y z
X
x
Y Q y
Y
x y
Z
z
Z
x y z
Тогда эта же квадратичная форма от старых переменных
x
,
y
и
z
будет такой:
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
3
1
2
3
1
3
1
3
( , , )
2
2
2 5
6
5
30
1 5 24
20 6 4
5 25
30
2 10 12 2 2 5 5 2 10 10 .
x y z
x y z
x y
x y z
x
y
z
xy
xz
yz
Чтобы все коэффициенты матрицы квадратичной формы
( , , )
x y z
были целыми, выражения во всех квадратных скобках
должны быть кратны 30. В итоге получаем систему сравнений по мо-
дулю 30 (т. е. в кольце
30
):
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
5 24
0
20 6 4 0
5 6
0 mod 30
5 25 0
5 3 2 0 mod 15
(mod 30)
10 12 2 0
5 0 mod 6
5 5 0
0 mod 6
10 10 0
