1
УДК 512.643
Генерирование матриц специального вида:
аналитический подход
© С.К. Соболев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье рассматриваются аналитические методы генерирования квадратных
матриц специального вида произвольного порядка: ортогональных с рациональны-
ми элементами, имеющих простую структуру, и целочисленных симметричных
матриц с целыми собственными числами любых наперед заданных знаков и крат-
ностей. Получены явные формулы, зависящие от нескольких параметров, при под-
становке вместо которых произвольных целых чисел получаются требуемые
матрицы любого размера. Результаты статьи могут быть использованы для ав-
томатического составления задач по линейной алгебре.
Ключевые слова
:
ортогональная матрица, циклическая матрица, латин-
ская матрица, симметричная матрица, собственные числа.
Введение
. Современные средства хранения и передачи информа-
ции за последнее десятилетие стали настолько совершенны, что про-
блема оперативного обновления комплектов контрольных работ по
математике (да и по другим предметам) в вузах стала более чем акту-
альной. Возникает необходимость автоматического генерирования
неограниченного количества задач на заданные темы с «хорошими»
ответами. В частности, при автоматическом генерировании задач по
линейной алгебре очень часто требуется иметь в своем распоряжении
достаточное количество «несложных» матриц специального вида
(хотя бы 3–6 порядка), например, ортогональных, состоящих из ра-
циональных чисел с небольшим знаменателем, или симметричных
целочисленных матриц с целыми собственными числами. Некоторые
такие алгоритмы приведены в работе [1]. В данной работе мы пред-
лагаем чисто аналитический подход к созданию таких матриц. Это
значит, что путем теоретического анализа получается некоторая мат-
рица, зависящая от нескольких целочисленных параметров, компью-
теру «поручается» только лишь подставлять в нее различные значе-
ния этих параметров и отбрасывать заведомо неподходящие получа-
ющиеся матрицы, например, с очень большими числами.
1. Аналитическое генерирование ортогональных матриц.
1.1. Общие понятия.
Будем строить целочисленные квадратные
матрицы с попарно ортогональными строками. Если для таких мат-
риц сумма квадратов элементов любой строки равна одному и тому
же числу ,
то такую матрицу будем называть
полуортогональной
,
а число
— ее
нормой
. Для такой матрицы
А
выполняется
условие
2
.
T
AA E
Отметим некоторые простые факты.
