Генерирование матриц специального вида: аналитический подход
11
или нечетного порядка
2 1
n m
вида
1 2
2
2
2
2 1 2
2
2
1
.
2 1
2
2
1 2
2
2
2
2 1 2
T
m
m
Q
Q
m
m
m
(11)
Пусть симметричная матрица
А
имеет набор целых собственных
чисел
1
, ...,
n
и
1
diag( , ...,
)
n
D
. Тогда
.
T
A QDQ
Возникает
вопрос: при каких целых
1
, ...,
n
симметричная матрица
А
будет
целочисленной? Ответ дают две теоремы:
1.
Для того чтобы матрица
T
A QDQ
порядка
2
n m
, где Q
имеет вид
(10)
, была целочисленной, необходимо и достаточно, что-
бы для некоторых целых параметров
1 2
2
, , ...,
m
k k k
выполнялось
1
1 2
1
2 3
1
3
2
1
2
,
,
, ...,
m
m
k
k mk
k mk
k mk
и
(
2
3
...
k k
2
)
m
k
было кратно т.
2.
Для того чтобы матрица
T
A QDQ
порядка
2 1
n m
, где Q
имеет вид
(11)
, была целочисленной, необходимо и достаточно, что-
бы для некоторых целых параметров
1 2
, , ...,
n
k k k
выполнялось
1
1 2
1
2 3
1
3
1
,
,
, ...,
n
n
k
k nk
k nk
k nk
и
(
2
3
...
n
k k
k
)
было кратно
n
.
Примеры.
1. Пусть
4,
2.
n m
Примем
1
2
1,
2,
k
k
3
0,
k
4
2,
k
тогда
1
2
3
4
1,
5,
1,
3.
В итоге имеем
A
1 2 0 2
2 1 2 0
0 2 1 2
2 0 2 1
.
2. Пусть
5,
2.
n m
Примем, например,
1
2
2,
1,
k
k
3
0,
k
4
2
k
,
5
1
k
, тогда
1
2
3
2,
7,
2,
4
5
8,
7.
Таким
образом, получаем
2 2 0 4 2
2 3 2 2 4
0 2 2 4 2
4 2 4 0 2
2 4 2 2 3
A
.
…………………………………..
