С.К. Соболев
10
Общее решение этой системы зависит от трех независимых цело-
численных параметров
m
,
n
и
k
:
1
2
3
6
5
, ,
.
m k
n k m n k
k
При этом матрица исходной квадратичной формы такова:
4
2(
)
( , , )
2(
) 4
2 .
2
m n k
m n m
A m n k
m n m n k m
m
m m k
Варьируя целые
m
,
n
,
k
, можно получить любую комбинацию
знаков собственных чисел для одного определенного набора соб-
ственных векторов
1
2
3
(1; 2; 1) ,
(2; 1; 0) ,
(1; 2; 5) .
T
T
T
b
b
b
Так, если
1,
2,
m n
1,
k
то
1
2
8 2 1
2 5 2 ,
5,
9,
1,
1 2 0
A
2
2
( , , ) 8 5 4 2 2 .
x y z x y xy xz yz
Следует отметить, что если какие-либо два собственных числа
равны между собой (например, если
0
n
), то при решении задачи
(студентом) выбор соответствующих взаимно ортогональных векто-
ров не однозначен, и ответ студента может не совпадать с заготов-
ленным ответом преподавателя. Недостатком этого подхода является
то, что для каждой новой ортогональной матрицы надо заново ре-
шать систему сравнений. Некоторой компенсацией будет рассмотре-
ние ортогональных матриц, полученных из матриц
F
или
G
леммы 6.
2.2. Генерирование
целочисленных симметричных матриц
произвольного порядка с целыми собственными числами.
Огра-
ничимся рассмотрением ортогональных матриц четного порядка
2
n m
вида
1
1
1 1
1 1
1 1
1
,
1 1
1
1
1 1
1 1
T
m
m
Q
Q
m
m
m
(10)
………………………………
