Генерирование матриц специального вида: аналитический подход
3
Все эти матрицы имеют целую норму:
2 2
2
2
.
k l
m n
Общий вид ортогональной матрицы (с рациональными элемента-
ми) порядка
п
, построенной таким образом, будет зависеть от
1 2 ( 1)
2
n n
произвольных целых параметров.
Определение.
Квадратная матрица
А
порядка
п
называется
ла-
тинской
, построенной на базе чисел
1
{ ; ...; },
n
a a
если в каждой стро-
ке и в каждом столбце этой матрицы встречается каждое из этих чи-
сел ровно по одному разу. Матрицу
А
назовем
полулатинской
, если
она отличается от латинской разве что знаком некоторых своих эле-
ментов. Если полулатинская матрица на базе чисел
1
{ ; ...; }
n
a a
орто-
гональна по строкам, то она, очевидно, полуортогональна с нормой
2
2
1
...
n
a
a
. Частным случаем полулатинских матриц являются
квадратные матрицы вида
1
2
3
1
2
1
1
1
2
2
3
4
1
n
n
n
n
n
n
a a a
a
a a a
a
a
a a
a
a a a
a
или
1
2
3
2
3
4
1
3
4
5
2
1
2
1
n
n
n
a a a
a
a a a
a
a a a
a
a a a
a
. (1)
Такие матрицы мы назовем
полуциклическими
, каждая следующая
строка в них получается из предыдущей строки циклической пере-
становкой на один элемент и возможным изменением знака у некото-
рых элементов, например,
.
a b c
A c a b
b c a
(2)
Квадратную матрицу
А
порядка
п
назовем
ортолатинской
(на базе
чисел
1
, ..., ),
n
a a
если она полуортогональная и полулатинская, т. е. ес-
ли в каждой строке и в каждом столбце этой матрицы встречается ровно
по одному разу все числа, равные по модулю числам
1
, ..., ,
n
a a
и матри-
ца
T
AA
диагональная. В этом случае
2
,
T
T
n
AA A A E
где число
2
2
1
...
n
a
a A
. Полуциклическую и одновременно полуортого-
нальную матрицы назовем
ортоциклической
. Перестановкой строк и
столбцов и умножением их на минус один из ортоциклической матрицы
получается ортолатинская.
……………………………..
……………………………..
