С.К. Соболев
2
Лемма 1.
Если А — полуортогональная матрица с нормой
, то
матрица А ортогональна и по столбцам:
2
T
A A E
и матрица
1
Q A
ортогональна в обычном смысле
.
Лемма 2.
Если матрица А ортогональна по строкам (или по
столбцам или полуортогональна), то она останется таковой, если в
ней переставить произвольным образом строки, столбцы и/или из-
менить знак у некоторых строк и столбцов.
Пусть
,
0
,
А
— произвольная антисимметричная цело-
численная матрица, т. е.
T
A A
, и
,
B E A
тогда
2 .
T
B B E
Лемма 3.
Матрица В не вырождена и поэтому обратима
.
В самом деле, равенство
det
det
0
B A E
возможно только
при
0,
так как антисимметричная матрица не имеет собственных
чисел, отличных от нуля.
Лемма 4.
Справедливо равенство
1
1
.
T
T
B B B B
Доказательство.
Умножим равенство
2
T
B E B
сначала сле-
ва, а затем справа на матрицу
1
,
B
в обоих случаях получим
1
1
1
2
.
T
T
B B B B B E
Следствие.
1
1
.
T
T
B B
B B
Лемма 5.
Матрица
1
1
T
T
Q B B B B
ортогональна.
Доказательство
[2, стр. 247]. В самом деле,
1
1
1
1
1
1
,
.
T
T
T
T
T
T
Q B B
B B
Q B B
B B
Замечание 1.
Если
,
кососимметрическая матрица
А
(а зна-
чит, и матрица
В
) целочисленна, и
B
– матрица, присоединенная к
матрице
В
, то матрица
1
T
Q B B
состоит из рациональных чисел,
а матрица
T
P B B
также целочисленна, полуортогональна, и ее
норма
det .
P B
Замечание 2.
Лемма 5 верна для любой невырожденной матрицы
В
,
удовлетворяющей условию
( ),
T
B p B
где ( )
p x
— некоторый много-
член.
Из леммы 5 при
3
n
и
1
получаем следующий общий вид
полуортогональных матриц третьего порядка, зависящих от четырех
произвольных целых параметров , , ,
:
k l m n
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
2(
)
2(
)
2(
)
2(
) .
2(
)
2(
)
m n k l
kn lm
kn nl
A
kn lm n l k m
kl mn
km nl
mn kl
k n m l
