Генерирование матриц специального вида: аналитический подход
5
При этом норма матрицы (4)
2
2
2
(
2)(
);
k
m n
она будет
целой, например, при
4
k
и
.
m n
Другое возможное целое реше-
ние:
( 1),
,
,
(2 1), , ,
.
a k n b m c kn d m n m n k
В этом случае норма ортоциклической матрицы
2
2
2
(
2 )(2 2 1).
k m n n
Способ 2.
Из полуциклических матриц вида
.
a b c d
d a b c
A
c d a b
b c d a
(5)
Эта матрица будет ортоциклической, если (
)(
) 0
a c b d
и
.
ac bd
Одно из возможных целых решений
2
,
,
,
a nk b n c nk
2
.
d k
Соответствующая ортоциклическая матрица имеет
целую
норму
2
2
.
n k
Например, при
1
n
и
2
k
получается следую-
щая ортогональная матрица:
2 1 2 4
4 2 1 2
1
.
2 4 2 1
5
1 2 4 2
Q
Способ 3.
В виде блочных матриц
A B
C B A
, где
А
и
В
—
квадратные ортолатинские матрицы. Собственно, так можно строить
ортолатинские матрицы любого четного порядка.
Лемма 5.
Если матрицы А и В ортолатинские одного порядка с
нормами
и
,
а матрица
T
C AB
симметрична, то матрица
A B
D
B A
также ортолатинская с нормой
2
2
.
Доказательство.
В самом деле, по условию,
2
2
,
,
,
T
T
T
T
T
n
n
AA E BB E C C BA AB
тогда
