С.К. Соболев
8
(
),
l k l
при любых
, , ,
m n k l
является целочисленной ортола-
тинской матрицей с нормой
2
2
2
2
2
2
.
m mn n
k kl l
1.6. Целочисленные ортолатинские матрицы произвольного
порядка.
Очевидна следующая лемма.
Лемма 6.
Пусть
.
m
1.
Циклическая симметричная матрица
четного порядка
2
n m
(
2
m
) вида
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
m
m
F
m
m
(7)
полуортогональна, ее норма равна m.
2.
Циклическая симметричная матрица нечетного порядка
2 1
n m
(
1)
m
вида
1 2
2
2
2
2 1 2
2
2
2
2
1 2
2
2
2
2 1 2
m
m
G
m
m
(8)
полуортогональна, ее норма равна
2 1 .
m n
3.
Любая матрица, полученная из матриц (7) или (8) перестанов-
кой каких-то строк, столбцов или умножением некоторых из них на
минус 1, также будет полуортогональной с такой же нормой.
2. Аналитическое генерирование симметричных целочислен-
ных матриц с целыми собственными значениями.
Такие задачи
возникают, если надо составить задачи на приведение квадратичной
формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Же-
лательно, чтобы матрица данной квадратичной формы была целочис-
ленна и имела целые собственные числа.
2.1. Генерирование целочисленных симметричных матриц
3-го порядка с целыми собственными числами.
Возьмем матрицу
3-го порядка с попарно ортогональными строками, например,
1 2 1
2 1 0 .
1 2 5
M
(9)
……………………………..
…………………………………..
