Математическое моделирование термоупругого контактного взаимодействия. . .
где ,
,
— число соответственно объемных, поверхностных
и контактных поверхностных конечных элементов рассматриваемо-
го тела
a
∈ {
,
}
;
[︀
( )
]︀
=
(︁
l
( )
0
0
l
( )
)︁
— матрица коэффициентов
теплопроводности (предполагается, что оси и — главные оси
анизотропии);
( )
— область интегрирования объемного конечного
элемента, лежащая в плоскости
p
;
( )
— длина (в общем случае
криволинейного) ребра, характеризующая поверхностный конечный
элемент
( )
, принадлежащий поверхности ;
( )
— длина ребра,
характеризующая поверхностный конечный элемент, принадлежащий
поверхности ;
( )
— длина ребра, характеризующая контактный
поверхностный конечный элемент, принадлежащий поверхности ;
( )
— температура сходственной точки, расположенной на контактной
поверхности соседнего тела
b
∈ {
,
}
, то есть тела, с которым кон-
тактирует рассматриваемое тело
a
,
a
̸
=
b
.
Контактная задача теории упругости
.
Решение этой задачи вы-
полняется итерационно с помощью процедур альтернирующего ме-
тода Шварца. На каждой итерации решается специальным образом
линеаризованная задача теории упругости. Используя вариационную
формулировку линейных задач теории упругости и построение диск-
ретизации по пространству в рамках конечно-элементной технологии,
получаем следующее матричное уравнение относительно глобального
вектора узловых перемещений
{ }
:
[ ]
{ }
=
{ }
,
где глобальные матрица жесткости
[ ]
и вектор нагрузки
{ }
[9]:
[ ] =
∑︁
=1
[
( )
]
т
2
p
∫︁
( )
[
( )
]
т
[
( )
][
( )
]
[
( )
];
{ }
=
∑︁
=1
[
( )
]
т
2
p
(︂∫︁
( )
[
( )
]
т
[
( )
]
{
e
( )
0
}
+
∫︁
( )
[
( )
]
т
{
( )
}
)︂
+
+
∑︁
=1
[
( )
]
т
2
p
∫︁
( )
[
( )
]
т
{︀
( )
}︀
+
∑︁
=1
2
p
( )
[
( )
]
т
{︀
( )
}︀
.
Здесь
[
( )
]
,
[
( )
]
— матрицы-строки функций формы соответствен-
но для объемного и поверхностного интегрирования, используемые
при решении задач механики;
[
( )
]
,
[
( )
]
— матрицы геометрических
связей соответственно объемных и поверхностных (и контактных по-
верхностных) конечных элементов, используемые при решении за-
дач механики;
[
( )
]
— матрицы геометрических связей, позволяющие
7
