Математическое моделирование термоупругого контактного взаимодействия. . .
Совокупность соотношений (1)–(15) составляет математическую
формулировку контактной задачи термоупругости. Предполагается,
что все функции, входящие в данную формулировку, являются изме-
римыми и ограниченными, а также они обладали достаточной глад-
костью.
Основные матричные соотношения метода конечных элемен-
тов.
Задача теплопроводности
.
Для решения нелинейных нестаци-
онарных задач теплопроводности контактирующих тел (1)–(7) при-
меним метод последовательных приближений [11], в соответствии
с которым их решение заменяют решением серии линейных задач
с коррекцией всех данных, зависящих от температуры. Для лине-
аризации зафиксируем в каждом теле
a
∈ {
,
}
некоторую тем-
пературу
*
( )
(︀
∈
¯
a
)︀
(в общем случае в каждом теле свою)
как параметр в коэффициентах уравнений (1)
e
(
,
*
)
,
r
(
,
*
)
,
(
,
*
)
, члене
(
, ,
*
)
, учитывающем мощность внутрен-
них источников (стоков) теплоты, в граничных условиях (3) и (4):
(
,
*
)
,
(
,
*
)
,
a
(
,
*
)
и в условиях на контактной по-
верхности (6) и (7):
a
(
,
*
)
. Отметим, что при формировании кон-
тактных граничных условий (6) для тела
a
необходимо использовать
зафиксированные значения температур сходственных точек
b
*
( )
тела
b
, т. е. принять
b
(
,
) =
b
*
( )
.
После решения линеаризованных задач для тел
a
∈ {
,
}
функ-
ции
*
( )
корректируются:
*
( )
def
= ( )
и, если сходимость не
достигнута, вновь выполняется решение задач (1)–(7).
Численное решение каждой линейной задачи теплопроводности
предполагает построение соответствующего дискретного аналога.
При решении нестационарных задач теплопроводности конечно-
элементную дискретизацию по пространству целесообразно выполнять
на основе метода взвешенных невязок в форме Галеркина [11, 12]. То-
гда для каждого контактирующего тела
a
∈ {
,
}
линеаризованная
нестационарная задача сводится к решению задачи Коши для линей-
ного матричного дифференциального уравнения первого порядка
[ ]
{
˙
}
+ [ ]
{ }
=
{ }
(16)
с начальным условием
{ }|
=0
=
{
0
}
,
где
{
0
}
— проекция функции
0
( )
(начального условия (2)) на узлы
сетки конечно-элементной модели.
При построении уравнения (16) использованы интерполяционные
5
