С.М. Богатырь, М.П. Галанин, В.И. Кузнецов и др.
соотношения Коши
e
( )=
{
e
}
=
{
e
,
e
,
e
3
,
g
}
т
=
{︂
,
, ,
+
}︂
т
,
∈
a
,
(11)
и определяющие уравнения — закон Гука в виде
s
( ) =
{
s
,
s
,
s
3
,
s
}
т
=
H
(
e
−
e
0
) =
= [ ]
(︀
{
e
,
e
,
e
3
,
g
}
т
−
{︀
e
0
,
e
0
,
e
0
3
,
g
0
}︀
т
)︀
,
∈
a
,
(12)
где
H
= [ ]
— матрица Гука;
s
=
{
s
,
s
,
s
3
,
s
}
т
— вектор напряже-
ний;
e
=
{
e
}
=
{
e
,
e
,
e
3
,
g
}
т
— вектор деформации;
e
0
=
{
e
0
}
=
=
{
e
0
,
e
0
,
e
0
3
,
g
0
}
т
— вектор начальной деформации (в данном слу-
чае — температурной);
— компоненты массовой (объемной) силы
Q
( ) =
{ }
=
{
,
}
т
;
u
( ) =
{
( )
,
( )
}
т
— вектор пере-
мещений точек тела,
( )
— перемещение в направлении оси ,
( )
— перемещение в направлении оси ;
u
0
=
{
0
,
0
}
т
— вектор
заданных перемещений точек поверхности
a
;
( )
— компоненты
заданной распределенной нагрузки
p
=
{ }
=
{
,
}
т
на поверхно-
сти
a
.
Запись
s
{
u
,
}
означает, что выполнены все необходимые преоб-
разования, позволяющие тензор напряжений
s
выразить через вектор
перемещения
u
( )
и температуру
(
,
)
. В дальнейшем аргумен-
ты у функций опущены, если это не приводит к противоречию. Кроме
массовых
Q
( )
и поверхностных
p
( )
сил в отдельных
a
точках
внешних поверхностей
a
,
a
∈ {
,
}
, с фиксированными коорди-
натами (
= 1
,
a
) могут быть заданы дискретные силы
R
a
.
Кроме того, на поверхности контакта
= =
должны быть
выполнены условия контактного взаимодействия, т. е. условия сопря-
жения по перемещениям (кинематическое условие)
( )
−
( ) =
d
( )
,
∈
;
(13)
и по напряжениям (силовое условие)
s
(
M
) =
−
s
(
M
)
6
0
,
∈
k
;
(14)
s
t
( ) =
s
t
( ) = 0
,
∈
k
.
(15)
Здесь ,
— проекции векторов перемещений граничных точек на
направление внешней нормали
n
к границе тела ;
d
— начальное
расстояние (зазор) по нормали между граничными точками тел и ;
s
,
s
— проекции векторов напряжений
s
и
s
на направление
внешней нормали
n
к границе тела ;
s
t
,
s
t
— проекции векторов
напряжений
s
и
s
в направлении общей касательной
t
к контактной
поверхности . Условие (15) указывает на отсутствие трения в зоне
контактного взаимодействия.
4
