Математическое моделирование термоупругого контактного взаимодействия. . .
(
,
0) =
0
( )
,
∈
¯
a
;
(2)
(
,
)
|
a
= (
,
)
,
∈
a
⊂
a
,
>
0;
(3)
−
(
,
)
,
|
a
= (
, ,
)
,
∈
a
⊂
a
,
>
0;
(4)
−
(
,
)
,
|
a
=
a
(
, ,
)
(︀
(
,
)
−
(
,
)
)︀
,
∈
a
⊂
a
,
>
0
,
(5)
где — время;
0
( )
— начальная температура;
(
,
)
— темпера-
тура в момент времени ;
(
,
)
— компоненты тензора теплоп-
роводности;
(
,
)
— мощность внутренних источников (стоков);
e
(
,
)
— удельная теплоемкость среды, занимающей область
a
;
r
(
,
)
— плотность среды, занимающей область
a
;
(
,
)
— тем-
пература поверхности
a
;
(
, ,
)
— плотность теплового потока
на поверхности
a
;
a
(
, ,
)
— коэффициент теплоотдачи на по-
верхности
a
;
(
,
)
— температура среды у поверхности ; —
компоненты единичного вектора внешней нормали
n
=
e
к грани-
це
a
. Здесь и ниже
a
∈ {
,
}
,
,
=
,
, а запятой с индексом
обозначена операция дифференцирования по пространственным ко-
ординатам
,
.
Предположим, что между контактными поверхностями двух тел
a
,
b
∈ {
,
}
,
a
̸
=
b
,
a
=
b
=
имеется неидеальный тепловой
контакт, тогда
a
(
,
a
)
a
,
⃒ ⃒
=
a
( )
(︀
b
(
,
)
−
a
(
,
)
)︀⃒ ⃒
;
(6)
a
(
,
a
)
a
,
⃒ ⃒
=
b
(︀
,
b
)︀
b
,
⃒ ⃒
.
(7)
Здесь — компоненты вектора внешней нормали к контактной по-
верхности
a
в точке ;
a
( )
— контактный коэффициент теплоот-
дачи;
a
(
,
)
,
b
(
,
)
— температуры сходственных точек тел
a
и
b
на контактной поверхности,
∈
=
a
=
b
.
Отметим, что контактный коэффициент теплоотдачи
a
( )
мо-
жет зависеть от контактного давления
s
, шероховатости поверхно-
стей контакта и от других параметров [8].
Краевая квазистатическая задача МДТТ в данном случае форму-
лируется так [9, 10]:
уравнения равновесия
s
,
{
u
( )
,
(
,
)
}
+ ( ) = 0
,
∈
a
,
(8)
граничные условия (кинематические и силовые соответственно)
u
( )
|
a
=
u
0
( )
,
∈
a
⊂
a
,
(9)
s
(
u
,
)
|
a
= ( )
,
∈
a
⊂
a
,
(10)
3
