С.Н. Дмитриев, Р.К. Хамидуллин
4
В результате подстановки получим
T
T
T
T
T
.
M R M K M
Φ + Φ + Φ ΦΦ = Φ
u
u
u P
(16)
Выражение (16) умножим слева на транспонированную обращен-
ную матрицу форм Φ
−T
=
M
Φ, учтем что Φ
T
M
= Φ
−1
. Тогда
,
M D K
+ + =
u u u P
где матрица демпфирования
D
=
M
Φ
R
Φ
T
M
.
(17)
В частных случаях классического демпфирования матрица
R
, най-
денная по
D
(17), принимает вид (12) или (13). Покажем, что для случая
(12), когда матрица демпфирования пропорциональна матрице жест-
кости, имеет место тождество
D
=
M
Φ
R
Φ
T
M
= α
K
.
(18)
Умножим (17) слева на Φ
T
, а справа — на Φ. В силу соотношений
M
- и
K
-ортогональности получим
R
= αΛ. Следовательно, выполняется
соотношение (2), а значит, и (18). Аналогичным образом можно пока-
зать, что случай, когда матрица демпфирования пропорциональна ма-
трице масс, также охватывается предложенной общей записью (17).
Теперь рассмотрим ситуацию, когда часть коэффициентов матрицы
модального демпфирования найдена опытным путем.
Разделим матрицу коэффициентов модального демпфирования на
две части — измеренные коэффициенты демпфирования
R
1
и коэффи-
циенты демпфирования
R
2
, которые предполагается задавать норма-
тивно (допустим, пропорционально матрице жесткости). Формы коле-
баний также разделим на две части Φ
1
и Φ
2
в соответствии с измерен-
ными и расчетными коэффициентами демпфирования. Представим
R
в виде суммы (19):
1
1 2
2
0 0
0
.
0
0 0
R
R R R
R
= + =
+
(19)
Подставим (19) в формулу (18) для матрицы
D
:
[
]
[
]
T
T
T
1
2
T
T
1
1
1
1
2
1
2
T
T
2
2
2
T
T
1 1 1
2 2 2
1 2
0 0
0
0
0 0
.
D M R M M R M M R M
R
M
M M
M
R
M R M M R M D D
= Φ Φ = Φ Φ + Φ Φ =
Φ
Φ
= Φ Φ
+ Φ Φ
=
Φ
Φ
= Φ Φ + Φ Φ = +
(20)
