С.Н. Дмитриев, Р.К. Хамидуллин
2
сил. В расчетах обычно предполагается [2], что демпфирование явля-
ется классическим, т. е. пропорциональным матрице жесткости
K
(слу-
чай внутреннего демпфирования [1]):
D
= α
K
,
(2)
или матрице массы
M
(случай внешнего демпфирования [2]):
D
= β
M
,
(3)
где α и β — некоторые коэффициенты, задаваемые в расчете. При при-
менении модели классического демпфирования динамические уравне-
ния движения приводятся к системе не связанных между собой урав-
нений гармонического осциллятора с демпфированием с использова-
нием форм колебаний недемпфированной системы, которые находятся
из решения обобщенной проблемы собственных значений:
−λ
M
φ
+
K
φ
= 0,
(4)
где λ — собственное число;
φ
— собственный вектор.
Собственные числа λ
i
и векторы
φ
(
i
)
для разных номеров тонов ко-
лебаний
i
собираются соответственно в диагональную матрицу соб-
ственных чисел Λ (5) и матрицу форм Φ (6), где они располагаются
в порядке возрастания собственных чисел:
Λ = diag(λ
1
, λ
2
, …, λ
n
);
(5)
Φ = [
φ
(1)
,
φ
(2)
, …,
φ
(
n
)
].
(6)
Найденные собственные числа и векторы удовлетворяют соотно-
шениям ортогональности с матрицами жесткости и массы (
K
- и
M
-орто
гональности) [1]:
Φ
T
K
Φ = Λ;
(7)
Φ
T
M
Φ =
E
,
(8)
где
E
— единичная матрица.
Переход к координатам форм осуществляется согласно следующему
соотношению:
u
= Φ
q
,
(9)
где
q
= [
q
1
,
q
2
, …,
q
n
]
T
— вектор координат форм. После подстановки
(9) и использования соотношений ортогональности (7) и (8), уравнение
(1) приводится к виду
.
R
+ + Λ =
q q q Q
(10)
Здесь диагональная матрица коэффициентов модального демпфиро
вания
R
= Φ
T
D
Φ
(11)
