Оценки первого собственного значения эллиптической краевой задачи с параметром
9
Из леммы 1 и теоремы 1 следует, что при
3
0
C
и
0
0
имеет место двусторонняя оценка
( )
( )
1
3
1
1
1
0
( )
d
d
C
.
Помимо оценок нас также интересует получение асимптотиче-
ских разложений собственного значения
1
( )
при
. Спра-
ведливо следующее утверждение.
Теорема 2.
Пусть
2
n
. Тогда справедливо представление
2
( )
1
1
1
1
2
( )
d
u ds
N g
o
u dx
,
.
(20)
Доказательство.
Рассмотрим краевую задачу
1
, 1
0,
n
ij
j
i
i j
u a
u
x
x
;
x
( )
0,
u g x u
N
,
x
0,
и определим новый параметр
1/ .
k
Тогда, полагая
1/
( , )
( ),
k
z x k u x
1
( )
(1/ )
k
k
, имеем
, 1
0,
n
ij
j
i
i j
z a
z
x
x
;
x
(21)
( ) 0,
z k
g x z
N
,
x
0.
k
(22)
Дифференцируя соотношения (21), (22) по
,
k
получаем краевую
задачу
, 1
,
n
ij
j
i
i j
dz
dz d
a
z
x
x dk
dk dk
;
x
(23)
( )
,
dz
dz
z
k
g x
N dk
dk
N
.
x
(24)
